“垂直”重難點(diǎn)解讀

同學(xué)們?cè)谛W(xué)里就已經(jīng)對(duì)“垂直”有了初步的認(rèn)識(shí)，在《平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）》這一章中，課本通過(guò)圖片和“議一議”活動(dòng)，在具體情境中進(jìn)一步豐富了對(duì)垂直的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)變.

一、與垂直有關(guān)的基本概念

1.垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.

2.垂線段的定義：垂線上一點(diǎn)到垂足之間的線段.

3.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度.

二、概念辨析

垂線是一條直線，可以向兩端無(wú)限延伸，不可以度量；垂線段是垂線上的一條特殊的線段，可以度量；點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度.

垂線、垂線段都是圖形，點(diǎn)到直線的距離是數(shù)量.

如圖，直線 ⊥ ，直線 叫做直線 的垂線，直線 也叫做直線 的垂線；線段OP叫做點(diǎn)P到直線 的垂線段；垂線段OP的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到直線 的距離.

例1.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ）

①若兩條直線相交，所得的四個(gè)角中有一個(gè)角是90°，則這兩條直線一定互相垂直；

②兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足；

③直線AB⊥CD，也可以說(shuō)成直線CD⊥AB；

④同一平面內(nèi)的兩條直線不是平行就是互相垂直.

A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)

【分析】根據(jù)兩條直線垂直的定義，只要兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線互相垂直，所以①正確；只有兩條直線互相垂直時(shí)得交點(diǎn)才能叫做垂足，所以②錯(cuò)誤；兩條直線互相垂直是相互的，所以③正確；兩條直線在平面內(nèi)的位置關(guān)系有相交和平行兩種，垂直只是相交的特殊情況，所以④錯(cuò)誤.

【解答】C

例2.下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.從直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段叫做這一點(diǎn)到已知直線的距離

B.過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線，垂線的長(zhǎng)度就是這一點(diǎn)到直線的距離

C.畫(huà)出已知直線外一點(diǎn)到已知直線的距離

D.連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

【分析】從直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做這一點(diǎn)到已知直線的距離，所以A錯(cuò)誤；垂線是直線，可以無(wú)限延伸，無(wú)法度量它的長(zhǎng)度，所以B錯(cuò)誤；距離是數(shù)量，只能畫(huà)出圖形，所以C錯(cuò)誤.

【解答】D

三、與垂直有關(guān)的性質(zhì)

1.互相垂直的兩條直線形成的四個(gè)角都是直角.

2.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

注意：（1）“有且只有”包括兩層含義：①過(guò)一點(diǎn)存在一條與已知直線垂直的直線；②過(guò)一點(diǎn)與已知直線垂直的直線是唯一的.（2）“過(guò)一點(diǎn)”可以是直線上一點(diǎn)，也可以是直線外一點(diǎn).

3.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)單的說(shuō)成是“垂線段最短”.

例3.如圖，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，則BD長(zhǎng)度的取值范圍是（ ）

A.大于3cm B.小于5cm

C.大于3cm或小于5cm

D.大于3cm且小于5cm

【分析】根據(jù)垂線段最短，由AD⊥BD，BC⊥CD得BC

【解答】D

例4.如圖，AC⊥CD，∠BED=90°.

（1）∠ACD=_______；

（2）直線AD與BE的位置關(guān)系是_______；

（3）在線段DA、DB、DC中，最短的線段是_______；在線段BA、BD、BE中，最短的線段是_______.

【分析】由垂直的定義能得到直角，反之兩條直線相交所成的角中有一個(gè)角是直角，也能得到兩條直線垂直.

【解答】（1）90°；（2）垂直；（3）DC BE

四、生活中的實(shí)際應(yīng)用

例5.如圖，修一條公路將村莊A與公路PQ連接起來(lái)，怎樣修才能使所修的公路最短？畫(huà)出路線圖，并說(shuō)明理由.

【分析】根據(jù)由一點(diǎn)到已知直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，所以過(guò)點(diǎn)A作PQ的垂線段即可.

【解答】如圖所示，線段AC就是所求的路線.

理由：垂線段最短.

例6.如圖，在河岸 的同側(cè)有一小鎮(zhèn)A和自來(lái)水廠B，現(xiàn)要在河岸上建一抽水站D，將河中的水輸送到自來(lái)水廠B處理后，再送往A鎮(zhèn).為了節(jié)省資金，鋪設(shè)的水管應(yīng)盡可能的短，抽水站D應(yīng)建在何處，沿怎樣的路線來(lái)鋪設(shè)水管？試在圖中畫(huà)出路線圖.

【分析】要使水管最短，則要使抽水站到自來(lái)水廠的距離和自來(lái)水廠到A鎮(zhèn)的距離最短.

【解答】如圖所示，過(guò)點(diǎn)B畫(huà)直線 的垂線段，則垂足D為抽水站的位置.連接AB，沿D→B→A的路線鋪設(shè)水管，可使得所用的水管最短.