定積分的計算方法與應用

鄭重陽

摘 要： 定積分是數學分析中的環節——微積分的重要分支之一，一元函數情況下，求微分實際上是一個求已知函數的導數，而求積分是求已知導數的原函數，所以微分與積分互為逆運算.本文主要介紹定積分的相關計算方法，以及定積分在實際中的一些應用.

關鍵詞： 定積分 計算方法 應用

定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他一些實際問題.定積分的思想在古代數學家的工作中就已經有了萌芽.比如古希臘時期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法計算過拋物線弓形及其他圖形的面積.公元263年我國劉徽提出的割圓術也是同一思想.在歷史上，積分觀念的形成比微分要早.但是直到牛頓和萊布尼茨的工作出現之前（17世紀下半葉），有關定積分的種種結果還是孤立零散的，比較完整的定積分理論還未形成，直到牛頓——萊布尼茨公式建立以后，計算問題才得以解決，定積分才迅速建立發展起來.

定積分的思想即“化整為零→近似代替→積零為整→取極限”.定積分這種“和的極限”的思想，在高等數學、物理、工程技術、其他知識領域及人們在生產實踐活動中具有普遍的意義，很多問題的數學結構與定積分中求“和的極限”的數學結構是一樣的，教材通過對曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程等實際問題的研究，運用極限方法，分割整體、局部線性化、以直代曲、化有限為無限、變連續為離散等過程，使定積分的概念逐步發展建立起來.可以說，定積分最重要的功能是為我們研究某些問題提供一種思想方法（或思維模式），即用無限的過程處理有限的問題，用離散的過程逼近連續，以直代曲，局部線性化等.定積分的概念及微積分基本公式，不僅是數學史上，而且是科學思想史上的重要創舉.

一、定積分的定義

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.