用導數尋求解題思路的實踐探究

葉明超

摘 要： 導數在歷年的高考中占據相當重要的位置，但學生在導數應用的時機把握不明確，導致考生在有限的時間內無法找到解題的突破口.我們在學習中要用導數尋求解題思路，并在教學實踐中突出導數工具的重大應用.

關鍵詞： 導數 解題思路 教學應用

導數在數學領域中的應用廣泛，在中學階段導數與代數、幾何、物理的應用息息相關，也是初等代數與大學高數的重要銜接部分，為學生深入學習奠定了基礎.導數作為強大的數學研究工具，為我們進一步對初等函數以外的研究提供了可能和依據.

一、正確理解導數的知識，為導數應用奠定基礎

表示為該點處的切線斜率.因此求切線的斜率，只需求該點處的導數值.導數的物理意義，利用導數可以解決物理學中的瞬時速度及加速度.其解決的辦法如同切線斜率，當時間增量△t→0時，兩個時刻間的變化率即轉化為瞬時速度及加速度.正確理解導數的意義，其關鍵在于△x→0使平均變化率轉化為瞬時變化率.導數作為函數的研究工具，借助基本初等函數的導數運算公式及運算法則，對非初等函數的研究提供強有力的依據.

導數在研究函數中的應用：1.函數的單調性與導數的關系.借助導數的符號判斷函數的增減性.2.函數的極值與導數的關系.首先，通過解方程f′（x）=0，求得x的值，此時x的值未必是極值點，因為f′（x）=0是極值點的必要而不充分條件，要進一步檢驗這一點是不是極值點，看該點兩側導數的符號是否異號是關鍵.3.函數的區間最值與導數的關系.它是在求得極值的基礎上，考查區間端點值與極值的大小進而得出最值的結論.4.導數圖像的單調性與切線斜率變化的關系.導數圖像的遞增表明導數值增大即切線斜率增大，在選擇題中可以判斷原函數圖像是上凸還是下凹變化.

二、導數在研究函數中的常規思路應用

三、導數的幾何意義在解題思路的實踐

近年來高考在導數的問題上既有傳統的知識的考查，基本上都在前1-2問上考查導數的基本性質，又注重題型的創新，導數命題創新有兩個方面：一是研究對象的多元化，由研究單一函數轉向研究兩個函數或多個函數；二是研究內容的多元化，由用導數研究函數的性質（單調性、最值、極值）轉向運用導數進行函數的性質、函數圖像的交點和方程根的分布等綜合研究，實際上就是借助導數圖像分析原函數圖像的特征.導數圖像的單調性與導數值的變化有這樣的關系，函數y=f（x）在區間（a，b）上，如果|f′（x）|越大，函數在區間（a，b）上的變化就越快，函數圖像就比較“陡峭”（向上或向下）；如果|f′（x）|越小，函數在區間（a，b）上的變化就越慢，函數圖像就比較“平緩”（向上或向下）.例如：（2013年浙江高考文科第8題）已知函數y=f（x）的圖像是下列四個圖像之一，且其導函數f′（x）的圖像如右圖所示，則該函數的圖像是.

對導數圖像的分析：對于給出導數圖像的問題，關鍵在于如何解讀導數的圖像，導數的圖像給了我們什么樣的信息.在導數的應用中，無非就是用導數的正負解決函數增減問題，用導數的增減可以解決函數圖像的變化率即相應點的切線斜率的變化，用導數的零點解決函數的極值點.因此本題的導數圖像給我們的第一印象是在區間[-1，1]上圖像都在x軸的上方，恒為正值，即在區間[-1，1]上函數單調遞增，而A、B、C、D四個選項都是單調遞增，無法區分出其函數圖像的區別，再從導數圖像的單調性角度研究，導數圖像的單調性反映的函數的幾何意義是，當導數大于0時，導數遞增表示f′（x）隨自變量的增大而增大，即自變量增大時對應的切點的斜率在增大（函數的平均變化率是增大的），此時函數圖像是下凸的，當導數大于0時，導數遞減表示f′（x）隨自變量的增大而減小，即自變量增大時對應的切點的斜率在減?。ê瘮档钠骄兓适菧p小的），此時函數圖像是上凸的.因此本題導數圖像中在[-1，0]上單調遞增，圖像下凸，在[0，1]上單調遞減，圖像上凸，故答案應為B.

四、非初函數問題，導數尋思路謀時機

導數在中學數學中的應用非常廣泛，為我們解決函數問題提供了有力的工具，它涉及中學數學的各個方面.在高考中是屬于必考題型，本文就導數容易忽略的知識應用進行了探討，闡述了研究初等函數以外的函數等相關問題，有助于對中學數學的深入探究、學習.

參考文獻：

[1]李東月.例析導數中的易混概念[J].數學教學通訊：教師閱讀，2012.

[2]于海忠.導數與函數在解題中的關系.中學課程輔導：教學研究，2011.