源于生活服務(wù)生活

周小偉

在日常生活中，統(tǒng)計和概率的簡單應(yīng)用比較普遍，幾乎無處不在，如買彩票、擲骰子、游戲是否公平、預測銷售量等，這些大家非常熟悉的游戲或者活動，都可以由同學們自己動手實驗，建立統(tǒng)計和概率的模型，通過簡單的計算得到一個合理的解釋或正確的預測. 在近幾年的中考數(shù)學試題中，統(tǒng)計和概率的簡單應(yīng)用都作為一個重要的知識點進行考查，立意新穎，分值較大，突出了數(shù)學應(yīng)用于生活的理念，得到大家的高度重視，下面結(jié)合這一章的知識分類評析.

一、 統(tǒng)計的合理性

在進行數(shù)據(jù)的收集、整理、統(tǒng)計和分析時，常常需要抽取一個合理的樣本，根據(jù)樣本的情況估計總體的情況，解決這類問題的關(guān)鍵是要體會收集數(shù)據(jù)結(jié)果的不確定性和多樣性，理解抽樣的必要性以及樣本抽取的合理性，再根據(jù)抽取的樣本，運用統(tǒng)計的知識進行合理的預測.

例1 （2014·南京）為了了解某市120 000名初中學生的視力情況，某校數(shù)學興趣小組收集有關(guān)數(shù)據(jù)，并進行整理分析.

（1） 小明在眼鏡店調(diào)查了1 000名初中學生的視力，小剛在鄰居中調(diào)查了20名初中學生的視力，他們的抽樣是否合理？并說明理由.

（2） 該校數(shù)學興趣小組從該市七、八、九年級各隨機抽取了1 000名學生進行調(diào)查，整理他們的視力情況數(shù)據(jù)，得到如下的折線統(tǒng)計圖（如圖1）.

請你根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，估計該市120 000名初中學生視力不良的人數(shù)是多少？

【分析】（1） 他們的抽樣都不合理. 因為如果1 000名初中學生全部在眼鏡店抽取，那么該市每個學生被抽到的機會不相等，樣本不具有代表性，如果只抽取20名初中學生，那么樣本的容量過小，樣本不具有廣泛性.

（2） 根據(jù)題意得：

×120 000=72 000（名），

該市120 000名初中學生視力不良的人數(shù)是72 000名.

【點評】此題考查的知識點是抽樣調(diào)查的可靠性、用樣本估計總體以及折線統(tǒng)計圖. 解決此題的關(guān)鍵是要理解樣本的合理抽取直接關(guān)系到對總體估計的精準程度，抽取的樣本必須同時具有代表性和獨立性，同時讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息也是解決問題的關(guān)鍵.

例2 （2014·江蘇南通）九年級（1）班開展了為期一周的“敬老愛親”社會活動，并根據(jù)學生做家務(wù)的時間來評價他們在活動中的表現(xiàn)，老師調(diào)查了全班50名學生在這次活動中做家務(wù)的時間，將統(tǒng)計的時間（單位：小時）分成5組：

A. 0.5≤x<1；B. 1≤x<1.5；C. 1.5≤x<2；D. 2≤x<2.5；E. 2.5≤x<3；并制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖2）：

請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1） 這次活動中學生做家務(wù)時間的中位數(shù)所在的組是______；

（2） 補全頻數(shù)分布直方圖；

（3） 該班的小明同學這一周做家務(wù)2小時，他認為自己做家務(wù)的時間比班里一半以上的同學多，你認為小明的判斷符合實際嗎？請用適當?shù)慕y(tǒng)計知識說明理由.

【分析】（1） C組的人數(shù)是：50×40%=20（人），B組的人數(shù)是：50-3-20-10-2=15（人），把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列，由于共有50個數(shù)，第25、26位都落在1. 5≤x<2范圍內(nèi)，則中位數(shù)落在C組，故答案為：C；

（2） 根據(jù)（1）得出的數(shù)據(jù)補圖如圖3：

（3） 符合實際.

設(shè)中位數(shù)為m，根據(jù)題意，m的取值范圍是1.5≤m<2，

∵小明幫父母做家務(wù)的時間大于中位數(shù)，∴他幫父母做家務(wù)的時間比班級中一半以上的同學多.

【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖的讀圖能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力. 利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決相關(guān)問題.

二、 規(guī)則的公平性

概率與我們的日常生活息息相關(guān)，它能解決一些簡單的實際問題，幫助我們作決定，作估計，解釋一些實驗現(xiàn)象，澄清日常生活中的一些錯誤認識，解決這類問題的關(guān)鍵是要把一些實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型，體會概率模型的作用以及運用概率思考問題的特點.

例3 （2014·江蘇鹽城）如圖4所示，可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被3等分，指針落在每個扇形內(nèi)的機會均等.

（1） 現(xiàn)隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，停止后，指針指向1的概率為______；

（2） 小明和小華利用這個轉(zhuǎn)盤做游戲，若采用如圖5的游戲規(guī)則，你認為對雙方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由.

【分析】（1） 隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，停止后，三個等可能的情況中出現(xiàn)1的情況有一種，故指針指向1的概率為；

（2） 列表得：

所有等可能的情況有9種，其中兩數(shù)之積為偶數(shù)的情況有5種，兩數(shù)之積為奇數(shù)的情況有4種，

∴P（小明獲勝）=，P（小華獲勝）=，

∵>，∴該游戲不公平.

【點評】此題考查了游戲公平性，以及列表法與畫樹狀圖法，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

例4 （2014·江蘇連云港）如圖6，在一個不透明的袋子中裝有四個球，分別標有字母A、B、C、D，這些球除了字母外完全相同，此外，有一面白色、另一面黑色、大小相同的四張正方形卡片，每張卡片兩面的字母相同，分別標有字母A、B、C、D. 最初，擺成如圖7的樣子，A、D是黑色，B、C是白色.

兩次操作后觀察卡片的顏色.

（如：第一次取出A、第二次取出B，此時卡片的顏色變成 ）

（1） 求四張卡片變成相同顏色的概率；

（2） 求四張卡片變成兩黑兩白、并恰好形成各自顏色的矩形的概率.

【分析】（1） 畫樹狀圖得：

∵共有16種等可能的結(jié)果，四張卡片變成相同顏色的有4種情況，

∴四張卡片變成相同顏色的概率為；

（2） ∵四張卡片變成兩黑兩白，并恰好形成各自顏色矩形的有8種情況，

∴四張卡片變成兩黑兩白，并恰好形成各自顏色矩形的概率為：=.

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率. 列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件. 用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

同學們，上面我們列舉了本章內(nèi)容的一些典型題目，這些題目多考查了統(tǒng)計和概率的一些簡單應(yīng)用，只要各位同學熟悉教材中的幾個統(tǒng)計量，合理抽取樣本，理解用樣本估計總體的必要性，會建立合適的概率模型并進行簡單的計算，一定能合理地解釋生活中的一些概率問題，并能在中考中熟練地解決這些題目.

（作者單位：江蘇省無錫市倉下中學）