有趣的概率問題

保險業的興起

18世紀的歐洲，因工商業的迅速發展，加之概率論的研究，興起了一門嶄新的行業——保險業. 保險公司為了獲取利潤，必須先調查統計火災、水災、意外死亡等事件的概率，據此來確定保險的價格.

例如，要確定人壽保險的價格，先統計各年齡段死亡的人數，如右表. 然后算出死亡概率，如40歲，死亡概率為765÷78 106≈0.009 8，如有一萬個40歲的人參加保險，每人付A元保險金，死亡可得B元人壽保險金，預期這1萬個人中死亡數是9.8人，因此，保險公司需付出9.8×B元人壽保險金，其收支差額10 000×A-9.8×B（元）就是公司的利潤.

撲克牌中的概率

四條（四張同點數的牌）出現概率≈0.0 002 401；

同花（四張同花色的牌）出現概率≈0.001 981；

順子（五張連續點數的牌）出現概率≈0.00 394；

同花順（五張同花色的順子）出現概率≈0.00 001 539；

葫蘆（三張同點數，二張另同點數）出現概率≈0.00 144.

按照概率的大小，決定打牌的游戲規則：

同花順>四條>葫蘆>同花>順子.

兩個骰子的概率

裝錯信封

概率計算往往與組合計數有關，這里介紹一下“裝錯信封”問題.

裝錯信封問題由法國數學家蒙莫爾于1713年提出，并給出解法. 后來瑞士數學家伯努利提出等價命題. 大數學家歐拉稱贊該問題是組合數學的妙題.

某人寫了4封信，并在4只信封上寫下4個收信人的地址與姓名. 但匆忙之中，他把所有信箋裝錯了信封. 問有幾種可能的錯裝情況？

我們把信封記為A、B、C、D，

相應的信箋記為a、b、c、d.

兩封信裝錯的可能性只有1種：Ab Ba

三封信裝錯的可能性只有2種：

Ab Bc Ca 和 Ac Ba Cb

四封信裝錯的可能性共有9種：

Ab Ba Cd Dc Ac Ba Cd Db Ad Ba Cb Dc

Ab Bc Cd Da Ac Bd Ca Db Ad Bc Ca Db

Ab Bd Ca Dc Ac Bd Cb Da Ad Bc Cb Da

同學的生日會相同嗎

如果我說“班上一定有兩個同學的生日是相同的！”你肯定不相信.但是，我告訴你，這是極可能發生的事.為什么呢？我們可以分析，1號同學與你的生日不同，那他的生日只能在一年365天中的另外364天中，即生日選擇可能性為364/365；而2號同學與你和1號同學的生日不同，可能性為363/365；3號同學不同，可能性為362/365；如此類推，得到全班50名同學生日都不同的概率為365×364×…×316÷36550≈0.029 5，而50人中有人生日相同的概率為1-0.029 5=0.970 5. 這一算，你會相信了，生日相同的把握有97%呢！

路邊的騙局

路邊有人“擺地攤”，攤主拿了黑白各8個圍棋子放進袋子里，然后對圍觀者說，凡愿摸彩的，每人先交1元錢，然后一次從袋中摸出5個棋子.獎勵辦法是摸到5個白子獎20元，摸到4個白子獎2元，摸到3個白子得小紀念品.不少人都想拿1元錢去碰碰“運氣”，結果均大失所望.其實這是一個低級的騙局，只要計算一下得獎的可能性，你就會明白.

原來只有1/3的人可能得個幾角錢的紀念品，想得20元錢的獎可要千里挑一.

汽車與山羊

這是一個美國的電視有獎參與游戲節目，主持人是蒙帝·霍爾.如果你被選中參加競猜，便有機會贏得一輛汽車.節目現場有三扇門，后面藏著一輛汽車和兩只山羊.如果你選擇1號門，此時主持人（他知道汽車藏在哪兒）會按規則打開另一扇門，讓大家看到一只山羊.同時會給你改變剛才選擇的機會.你說改變不改變呢？究竟哪一種情況概率大呢？

這個問題引起公眾和學者的廣泛關注，解答更是眾說紛紜.

正確的舉措是選擇“改變”，理由是選擇改變，贏得汽車的概率為，選擇不改變，概率僅有，同學們可以自己算一算.

睡美人的故事

這是根據法國童話故事《睡美人》編的一道概率趣題：

一位美麗的公主中了邪魔的詛咒，昏睡不醒.國王想盡方法進行治療，卻毫無效果，只好將她安放在城堡的密室之中.若干年后，一群求婚者慕名而來，不但闖入了城堡，而且找到了一串相關的鑰匙.他們詢問看門老人，只知道有一把鑰匙能打開密室，卻不知是哪一把.恰好鑰匙數與求婚者人數相等，每人只可任取一把試開.誰有機會進入密室，以真愛喚醒公主呢？求婚者爭先恐后，唯恐落在后面，失去了機會.

問題是，每人取一把鑰匙試開是：1. 先開的概率大？2. 后開的概率大？3. 各人的概率都一樣大？