數感：數與現實聯系的橋梁

邵文川

摘 要： 數感是我們既熟悉又陌生的概念。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。為了實現數與現實的連接，更好地發展學生的數感，這就要求教師在教學過程中緊密結合教材，靈活運用溝通聯系、情境體驗、多元表征、算法多樣、建構模型等教學策略，加強對學生數感的培養，把數感的培養落實到日常教學活動中。

關鍵詞： 數感 聯系 體驗 表征 模型

人們在日常生活中常常要與各種各樣的數打交道，這時總會有意識地將一些現象與數量建立聯系，如走進一個會場，在我們面前的兩個集合，一個是會場的座位，一個是出席的人。有人會自然地將這兩個集合做一下比較，不用計數就可以知道這兩個集合是否相等，哪個集合大一些，大到什么程度，這就是數感在起作用[1]。

數感是我們既熟悉又陌生的概念。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中關于數感的論述是：“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。”

可見，數感強調的是一種感悟。在日常的數學教學活動中，我們不僅要讓學生感悟“數是對數量的抽象”，還要讓學生感悟“抽象出來的數與數量是有聯系的”[2]。可見，數感是將數學與現實問題建立聯系的橋梁。

那么，在日常教學中如何實現數與現實的連接，更好地發展學生的數感呢？結合多年的教學實踐，我認為可以運用溝通聯系、情境體驗、多元表征、算法多樣、建構模型等教學策略，加強對學生數感的培養。

一、溝通聯系，建立數感

數學是一門抽象的學科，所有數學知識都是經過抽象得到的。例如，現實生活中不存在純粹的點、線、三角形，它們都是從客觀世界中大小不一的點、粗細不同的線、形狀各異的三角形物體中提取出的“理想化”的思維產物。因此，在數學教學中，我們要善于將數學與實際背景聯系起來，溝通數學與現實生活的聯系。

如，人教版一年級數學上冊“1—5的認識”。

教學時，首先要讓學生感受到，每個數都是在數幾個具體的人或物的基礎上抽象出來的。如教學“1”時，要讓學生數1個奶奶、1只小狗、1座房子、1串玉米等；教學“2”時，要讓學生數2只鵝、2個盤子、2個筐等。學生通過數物體，親身經歷知識的形成過程，感悟到抽象出的“1”和“2”來源于客觀世界，學習到的數學知識是客觀事物的“理想化”的思維產物。同時還要讓學生體驗到數學知識從抽象回到具體的過程。如當學生認識了1—5之后，可以讓學生分別拿出數量是1、2、3、4、5的小棒并用數量2、3、4、5的小棒，擺出自己喜歡的圖形，然后在全班展示、交流。這樣的教學，能及時將數學知識應用到實際生活中，讓學生感悟到抽象出來的數與數量是有聯系的。

上述教學過程，可以幫助學生完成由具體到抽象，再由抽象到具體的認知過程，實現數與現實的聯系，讓學生很好地建立數感。

二、情境體驗，豐富數感

數學來源于生活，培養學生的數感離不開學生的生活經驗。教學時，我們要從學生生活經驗入手，創設與知識背景相關的生活情境，讓學生在具體的實物數量或問題情境中充分感知、積極體驗、主動建構，從而使學生更具體更深刻地把握數概念，更好地豐富學生的數感。

【案例1】[3]

在教學人教版二年級下冊“認識1000”時，由于二年級學生的生活經歷還不十分豐富，認識1000這個較大的數還是比較困難的，因此可以把認識1000作為認識大數的開始。此時可以組織一次綜合與實踐活動。

課前先把班級學生分為六個小組，每兩個小組承擔下面任務之一。

A組通過調查說明：1000是一個不大的數；

B組通過調查說明：1000是一個不小的數；

C組通過調查說明：1000是一個很大的數。

課前引導每一個小組制訂調查計劃，并且在課前完成調查。在綜合與實踐課上，讓每一小組介紹調查的結果，并且發表感想。無論是制訂計劃還是發表感想，教師都應當加強指導。比如，學生可以制訂下面的計劃、發表相應的感想：

承擔第一項任務的小組，可以計劃：數出1000粒小米、大米或者黃豆，發現并沒有想象的那么多；測量1000毫米的距離，發現1000毫米并不很長。

承擔第二項任務的小組，可以計劃：到超市調查1000元錢可以購買的東西，發現數量比較大、或者東西比較貴重，知道1000元錢不少；測量1000米的距離，發現1000米并不短。

承擔第三項任務的小組，可以計劃：從樓房的高度推測1000米的山有多高，發現1000米的高度很高，還可以進一步調查本省高于1000米的山峰有多少；從停車場一輛汽車所占面積推測1000輛汽車所占面積，發現占地面積相當大。

在學生匯報的基礎上，教師的總結：同樣是1000這個數，用在不同的情境給人的感覺是不一樣的，因此在實際生活中應當把數與數所表達的情境結合起來。

這樣的實踐活動，讓學生在現實背景中充分感知、深刻體驗到生活中的數，通過1000感悟生活中的大數，豐富了學生的數感。

三、多元表征，增強數感

當知識被從現實原型抽象出來時，就形成知識的內核，同時也就失去了知識形成過程的火熱活動。如何對知識進行深刻的理解，即賦予意義，只有將其納入學習者的認知結構中才能實現，這個過程的消化吸收，離不開對知識的多元表征。教學中，要盡量引導學生對知識進行多元表征，形成自己獨特的理解，進行個性化的知識建構，才能促進學生對知識實質的思考。

如，教學人教版一年級上冊“比大小”時，當學生在“誰能通過擺一擺、排一排，讓別人一下子就能看清楚猴子分別和三種水果的多少情況？”這一問題的啟發下，擺出有序的象形統計圖時（如圖1），教師應及時啟發學生用不同形式表征比較的結果：首先可以用文字表征比大小的結果（如圖2），這樣能夠溝通文字與圖形之間的關系；接著可以用符號表征比大小的結果（如圖3），這樣能夠溝通符號與文字、圖形之間的關系。

圖1 象形統計圖

圖2 文字表征

圖3 符號表征

通過對“比較結果”的多元表征，促使學生更全面深刻地把握住“比大小”的實質，增強了數感。

再如，人教版三年級上冊“幾分之一”。教學時，可以先按教材創設的情景，在4次平均分物活動過程中，依次畫出圖示，再分別給出分數1/2、1/4、1/3、1/5的“符號”；接著再讓學生進行實踐活動：拿一張正方形的紙折一折，表示它的1/4。反觀這一教學過程，可以發現執教者能充分考慮操作、圖形、符號等表征方式的關系，并注重它們之間的轉換，既幫助學生讀懂操作過程和圖示，會用符號表示；又能根據符號，用操作活動和圖示進行解釋。

學生通過不同的方式表征同一概念的能力，即表征轉換能力，代表學生對概念的理解水平。教學時，教師要積極引導學生，通過多種表征方式，建構個性化的知識，提升思維品質，增強數感。

四、算法多樣，培養數感

在解決問題的過程中，由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的。教學時，教師要尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡算法多樣化。

如，教學一年級上冊“8+9”例題時，可以先出示8+9，放手讓學生獨立計算，然后匯報交流、展示多種不同的計算方法（三種不同的計算方法：把8湊成10；把9湊成10；根據9+8=17，想出8+9=17的算法）。通過同學之間的交流互動，讓學生了解計算的多種方法，實現知識的自主建構，培養了學生的數感。

又如，在解決“星光小學有25個同學到游樂場游玩，游樂場里每架空中飛機最多可乘坐4人，他們想同時乘坐空中飛機，至少需要乘坐幾架空中飛機？怎樣乘坐合理？”這一現實生活問題時，因為學生已經具有乘坐空中飛機的生活經驗，所以在解答本題時，學生并不是簡單地計算25/4=6……1，而是能夠主動結合問題的實際背景，深刻地領悟到商6和余下的1的具體含義，即6表示6架空中飛機，1表示如果6架空中飛機都坐滿4個人，還剩1個人也需要一架空中飛機，因此需要7架空中飛機才可以。同時在面對這個實際問題時，這只是一種解決問題的方法，還可以有4架乘坐4人，3架乘坐3人；或5架乘坐4人，1架乘坐3人，1架乘坐2人等解決方法。像這樣，學生在解決實際問題的過程中，能結合具體的問題情境選擇恰當的算法，切實了解計算的意義和如何運用計算的結果，很好地培養了數感。

五、建構模型，發展數感

《義務教育數學課程標準（2011年版）》特別重視培養學生的“四能”，即“增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。要使學生學會從現實情境中提出問題，從一個復雜的情景中提出問題，找出數學模型，需要具備一定的數感，需要學生在遇到具體問題時，能自覺主動地與一定的數學知識建立聯系，這樣才有可能建構與具體事物相聯系的數學模型。

如，學習了“比和比例”的知識后，張老師在一個晴天的上午第四節課將全班學生帶到操場上，指著高高的旗桿問學生：“誰能知道我們學校旗桿的高度？”這是一個實際問題，如果學生不能自覺地將問題與學過的解比例的知識建立聯系，建構與實際問題相聯系的數學模型，就無法順利地解決問題。此時，有的學生猜測旗桿高度可能有10米、15米、20米；有的學生認為可以爬上旗桿的頂部，從頂部垂下繩子進行測量；有的學生認為干脆把旗桿放倒后再測量……更多的同學搖搖頭，表示無從下手。這時，張老師把早已準備好的一根2米長的竹竿筆直地立在操場上，地上立即出現竹竿的影子，然后啟發大家觀察竹竿的長與影子的長有什么關系？同學們開始議論紛紛，有的同學立即聯想到剛學過的“比和比例”的知識，很快就找到解決問題的方法。

將實際問題先轉化為數學問題，再聯想數學模型解決，讓學生學會“數學地”思考問題，把數感的建立與數量關系的理解及數學模型結合起來，長期堅持這樣教學，必定能發展學生的數感，提升學生的整體數學素養。

綜上所述，數感的培養有利于溝通數學與現實生活的聯系，有利于學生數學地理解和解釋現實問題，有利于學生提出問題和解決問題能力的提高。當然，學生數感的建立不是一蹴而就的，而是在學習過程中逐步體驗和建立起來的。因此，我們在日常教學過程中，要緊密結合教材，靈活運用溝通聯系、情境體驗、多元表征、算法多樣、建構模型等教學策略，加強對學生數感的培養，讓數感的培養真正落實到日常教學活動中。

參考文獻：

[1][美]T.丹尼克.數——科學的語言[M].北京：商務印書館，1985.

[2]史寧中.小學數學核心問題：基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.5.

[3]史寧中.小學數學核心問題：基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.5.