數列中常考的關于函數思想的題型

徐英

摘 要： 數列是一種定義域，是正整數集或其子集的函數，其圖像是對應函數的圖像上的一些散點，研究數列的一些性質，可以利用函數的性質來研究.作者對數列的最值進行研究，函數的最值常用圖像法、導數法、重要不等式等，以供大家參考。

關鍵詞： 數列 函數 最值

一、利用常見函數圖像及導數解決數列最值問題

例1：已知數列{a }滿足a =1，a -a =2n-2，則a =？搖 ？搖？搖？搖？搖.

分析：遞推關系式為a -a =f（n），求通項用累加法.

解析：a -a =2×1-2？搖？搖a -a =2×2-2a -a =2×3-2，a -a =2×4-2，…，a -a =2n-2，將上式左右兩邊分別相加，得

a -a =2（1+2+3+…+n）-2n，得a =n -n，所以a =n -3n+3該式對n=1也成立，所以a =n -3n+3.

變式1：已知數列{a }滿足a =1，a -a =2n-2，a 的最小值為？搖？搖 ？搖？搖？搖.

分析：二次函數求最值常用配方法和圖像法.

解析：a =n -3n+3可看成二次函數f（x）=x -3x+3，其定義域為正整數集.因為f（x）=x -3x+3的對稱軸x= ，在對稱軸左右的正整數為n=1和n=2，計算f（1）=f（2）=1，所以a 的最小值為1.

變式2：已知數列{a }滿足a =1，a -a =2n-2， 的最小值為？搖？搖？搖 ？搖？搖.

分析：f（x）=x+ （k>0）在區間（-∞，- ），（ ，+∞）上單調遞增，在區間（0， ），（- ，0）上單調遞減；f（x）=x+ （k>0，x>0）時，可利用均值不等式求最值，但要注意一“正”，二“定”，三“相等”.

解析： =n+ -3，可看成函數f（x）=x+ -3其定義域為正整數集，由f（x）=x+ -3在（0， ）上單調遞減，在（ ，+∞）上單調遞增.在 左右兩側的正整數分別為n=1和n=2，計算f（1）=1，f（2）=1，所以 的最小值為1.

變式3：已知數列{a }滿足a =1，a -a =2n-2，na -3n的最大值為？搖？搖 ？搖？搖？搖.

分析：數列的最高次數為3次時，可以看成三次函數，可用導數求最值.

解析：na -3n=n -3n ，可看成函數f（x）=x -3x 其定義域為正整數集，f′（x）=3x -6x，由f′（x）=3x -6x>0，得02，所以n=2時，f（x）有極大值也是最大值，所以na -3n的最大值為-4.

二、利用函數單調性解決數列最值問題

例2：已知數列{a }中，a = （n∈N ，a∈R，且a≠0），

（1）若a=-7，求數列{a }中的最大項和最小項的值；

（2）若對任意的n∈N ，都有a ≤a 成立，求a的取值范圍.

解析：（1）因為a = ，函數f（x）= 在（0， ）內單調遞增，此時y<0；在（ ，+∞）內單調遞減，y>0.所以0>a >a >a >a >a >a >a >…>a >0（n∈N ）.所以數列{a }中的最大項為a =1，最小項為a =-1.

（2）a = ，因為對任意的n∈N ，都有a ≤a 成立，所以結合函數f（x）的單調性，得6< <7，所以-12

變式2：若a=-7，對任意的n∈N ，都有a ≤a +1成立，求k的最小值為5.

分析：f（x）a，只需f（x） >a.

解析：因為a = ，所以對任意的n∈N ，都有a ≤a +1，只需（a ） ≤a +1.

由（1）知a = 的最大值為1，所以1≤a +1，得k> ，k的最小值為5.

參考文獻：

[1]余紹友.函數思想在數列題目中的應用[J].大觀周刊，2012（24）.

[2]沈書龍.函數思想在數列中的應用[J].中學課程輔導（高考高三語數外），2013（3）.