劉祖金

數學思想方法是一種數學意識，體現了數學的思維能力、知識轉化能力、分析解決問題的能力，能夠全面反映學生的綜合素質.高中生在解題時常常會出現束手無策、目的不明確，思維混亂，思路不清晰的情況，在學習中不懂得掌握知識點、知識網絡，不會融會貫通、舉一反三等.其主要原因還是在學習中沒有形成必要的數學思想方法.

高中階段常見的有數形結合、分類討論、化歸與轉化、函數和方程、建模等思想方法.正確運用這些思想方法，對提高學生的解題能力起非常關鍵的作用.因此，在教學中應重視培養學生的數學思想方法.我現結合數學教學實踐探討其中所蘊含的數學思想方法.

一、數形結合的思想方法

數形結合就是把抽象的數學語言與直觀的圖形相結合、抽象思維和形象思維相結合，通過“以形助數”“以數輔形”兩個方面，可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合.巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象數學問題，可收到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果.數形結合的重點是“以形助數”，但以數解形在近年高考試題中也得到了加強，其發展趨勢不容忽視.

數形結合常用于函數與函數的圖像、解不等式、曲線與方程，參數本身的幾何意義，代數式的結構特點，求函數的值域、向量問題等常常可以用數形結合思想尋找解題思路.

（一）由數化形、以形為手段，以數為目的，通過建立坐標系由條件繪制相應圖形，使圖形充分反映出它們相應的數量關系，從而解決問題.

（二）由形化數，借助于圖形，通過觀察揭示出圖形中蘊含的數量關系，反映出事物本質特征.

（三）數形轉換，“數”和“形”可以互相轉換，化抽象為直觀，化直觀為精確，化難為易，從而使問題得到解決.

評注：數形結合思想是一種重要的數學思想方法，在解選擇題、填空題中應用廣泛，在解答題中一般可用數形結合法尋找解題思路，解答過程如用數形結合，敘述要嚴謹，防止只畫個圖形而解題過程不規范現象的發生.著名數學家華羅庚對“數形結合”的重要性，精辟地概括為“數無形，少直觀；形無數，難入微”，形象地道出了數形結合的特征和重要性.

二、分類討論的思想方法

在解某些數學題時，它的結果可能不唯一，對可能的情況要一一加以分類討論.它是一種重要的數學思想方法，在高考中占有十分重要的地位，分類討論試題具有明顯的邏輯性、探索性的特點，試題難度屬中高檔.

（一）引起分類討論的原因大致可分為如下幾種：

1.涉及的數學概念是分類定義的，如絕對值、直線斜率、指數函數、對數函數等.

2.運用的定理、公式或運算性質、法則是分類給出的，如等比數列的求和.

3.由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形的類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限，點、線、面的位置關系等.

4.數學問題中含有參數變量，如參數的方程、不等式，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法.

5.對較復雜或非常規的數學問題，需要采取分類討論的解題策略來解決.

（二）分類的原則：分類的標準要統一；層次要分明，分類要做到不重不漏；能不分類的要盡量回避，或盡量推遲，決不無原則地討論.

（三）分類方法：①明確討論對象；②確定分類標準；③逐步詳細討論；④歸納小結.

四、轉化與化歸思想

轉化與化歸思想是研究問題最基本、最重要的思想方法，它無處不在.比如：處理幾何問題時，將空間問題轉化到一個平面上解決；在解析幾何中，通過建立坐標系將幾何問題化歸為代數問題；復數問題化歸為實數問題等.

（一）轉化與化歸的原則：（1）目標簡單化原則；（2）具體化原則；（3）低層次原則；（4）正難則反原則.

（二）轉化與化歸常用的方法：（1）直接轉化法；（2）換元法；（3）數形結合法；（4）構造法型；（5）坐標法為工具；（6）類比法；（7）特殊化方法；（8）等價問題總之，數學思想方法較之數學基礎知識具有更高的層次，是對數學規律的理性認識，是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁，是打開數學宮殿的鑰匙，是數學的靈魂.重視數學思想方法的教學和運用，突出數學思想方法，是提高解題能力的重要措施.讓學生靈活應用所學的數學思想方法，以培養其分析問題和解決問題的能力；課堂教學中不斷總結、提煉、潛移默化才能使學生養成良好的思維習慣，對數學思想的運用才能做到得心應手.