培養(yǎng)解題反思習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

林忠云

摘 要： 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中解題能力的培養(yǎng)是我們共同的目標(biāo)，而解題反思是提高解題能力的關(guān)鍵.通過(guò)反思問(wèn)題條件、解題過(guò)程、解題規(guī)律和題目特征，可以不斷積累經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生思維的整體性、深刻性、敏捷性和創(chuàng)造性，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探索的興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 解題反思 思維品質(zhì) 數(shù)學(xué)思維能力

“思之自得者真，習(xí)之純熟者妙”.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如果缺乏解題反思，那么他們的數(shù)學(xué)思維將不可能會(huì)有很好的提高，同時(shí)也很難再進(jìn)行更深入的學(xué)習(xí)，更不可能有創(chuàng)新思維的品質(zhì).學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力要想得到優(yōu)化與提高，數(shù)學(xué)教師必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思，促使學(xué)生能從多角度、多層次的全面考察、分析和思考問(wèn)題，通過(guò)思考、再思考學(xué)生才易獲取新知，解題思路、方法可得到拓寬與優(yōu)化，知識(shí)也就得到了同化與遷移，并能提高學(xué)習(xí)效率和問(wèn)題解決的創(chuàng)新能力.筆者結(jié)合平時(shí)的課堂教學(xué)實(shí)踐，對(duì)解題反思的培養(yǎng)談?wù)効捶?

一、反思問(wèn)題條件，提高思維整體性

平時(shí)學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時(shí)，往往不善于抓住問(wèn)題的各個(gè)方面，通常容易忽視其中的重要細(xì)節(jié)，沒(méi)有充分考慮到條件中的深層含義，而造成最終的解題失誤.

如學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，很多學(xué)生會(huì)出現(xiàn)下例中的錯(cuò)誤.

例2：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13cm，BC=12cm，設(shè)P、Q分別為AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，并分別從B、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿BA方向和AC方向做勻速移動(dòng)，當(dāng)Q移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止移動(dòng)，移動(dòng)速度均為1cm/s，設(shè)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t.求：當(dāng)t為何值時(shí)，使△APQ的面積S最大，S的最大值是多少？

圖1

錯(cuò)解：如圖1，過(guò)P作PD⊥AC于D點(diǎn).

由題意可知：當(dāng)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為ts時(shí)，則AQ=t，AP=13-t，而△APD∽△ABC

∴■=■，即PD=■·BC=■

∴S=■AQ·PD=■t·■=-■（t-■）■+■

∵a=-■<0

∴函數(shù)S有最大值

∴當(dāng)t=■時(shí)，△APQ的面積最大，S■=■.

通過(guò)反思，學(xué)生能記住“當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y有最小值；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y有最大值”.同時(shí)也能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因：是忽略了題目中的條件“函數(shù)自變量t的取值范圍”，因?yàn)榭汕蟪鯝C=5cm，所以P、Q移動(dòng)時(shí)間t的取值范圍是：0≤t≤5，故t取不到■的值，根據(jù)a<0和對(duì)稱軸t=■，可知函數(shù)S的圖像在對(duì)稱軸的左邊，且S隨t的增大而增大，所以△APQ的最大面積不是■cm■，而是當(dāng)t=5時(shí)，△APQ的最大面積為■cm■.

通過(guò)以上反思訓(xùn)練，學(xué)生領(lǐng)悟到讀題一定要仔細(xì)，要注重知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和對(duì)隱含條件的挖掘，注重知識(shí)的縱橫聯(lián)系，要做到“吃一塹，長(zhǎng)一智”，從錯(cuò)誤中得到教訓(xùn).由于在解題中學(xué)生通常會(huì)出現(xiàn)審題上的漏洞，因此必須養(yǎng)成對(duì)題目條件的反思習(xí)慣，做到對(duì)問(wèn)題條件的有效捕捉、提取和組合，才能更好地索取新知，提高思維的整體性.

二、反思解題過(guò)程，提高思維敏捷性

“欲窮千里目，更上一層樓”，解題過(guò)程的關(guān)鍵就是要能從已知和未知中找到解題最佳途徑.完成一道題后，我們不能只做簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)和回顧，而是要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多層面的觀察、聯(lián)想和反思，對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行分析比較，找出最佳解法，開(kāi)拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生具有“從優(yōu)”、“從快”的解題思維，使學(xué)生的思維敏捷性能在變換與化歸過(guò)程中得到培養(yǎng)和提高.

例3（2015年福建南平市質(zhì)檢卷第10題）：如圖2，線段AB=10，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上滑動(dòng)（滑動(dòng)過(guò)程中線段AB的長(zhǎng)保持不變），⊙O與線段AB相切于C點(diǎn).求當(dāng)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為多少時(shí)，⊙O的面積最大，最大面積是多少？

圖2

在解答此題時(shí)，我發(fā)現(xiàn)大多學(xué)生都會(huì)想到當(dāng)⊙O的半徑OC最長(zhǎng)時(shí)，⊙O的面積最大.這時(shí)就會(huì)設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（x>0），根據(jù)Rt△ABO可求得OB=■，

再由ΔAOC∽ΔABO就可得：■=■，即：OC=■■

∴OC■=-■（x■-50）■+25，∴當(dāng)x■=50時(shí)，OC■的最大值為25，

∵x>0，∴當(dāng)x=5■時(shí)，⊙O的面積最大，S■=25π.

此解法雖比較直接，卻也靈活運(yùn)用了相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)最值求法.

但在試卷講評(píng)時(shí)，我就引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本題題目特征及解題過(guò)程進(jìn)行反思，并提出：“圓周上的點(diǎn)到定直徑的距離的取值范圍是多少？”引導(dǎo)學(xué)生能否換個(gè)思路求解.通過(guò)教師引導(dǎo)，師生共同反思、討論，本題看似線段AB在動(dòng)，而在解題中實(shí)際可看成線段AB不動(dòng)，而是點(diǎn)O在動(dòng)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以AB為直徑的半圓（如圖3），所以O(shè)C最大值就是半圓的半徑5，

此時(shí)△AOC為等腰直角三角形，所以O(shè)A=5■，又因?yàn)閤>0，

所以當(dāng)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為5■時(shí)，⊙O的面積最大，最大面積是25π.

圖3

通過(guò)此題的解題過(guò)程反思，引導(dǎo)學(xué)生再次認(rèn)真審題、思考后，對(duì)題目的條件、結(jié)論能更深入地理解，特別是本題中由“線”動(dòng)到“點(diǎn)”動(dòng)的思維變化，讓學(xué)生的思維得以激活，促使學(xué)生解題思路得到巧妙變化，使各種解題技能、技巧與方法得到相互滲透，解題過(guò)程得到優(yōu)化，學(xué)生思維的敏捷性得到培養(yǎng)，解題能力得到發(fā)展與提高.

三、反思解題規(guī)律，提高思維深刻性

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師舉的例題或練習(xí)一般都會(huì)是一種類型題的代表，解題方法往往都會(huì)有其規(guī)律性，因此，在課堂教學(xué)中教師所選的例題或練習(xí)都要精挑細(xì)選，并在例題或練習(xí)得到解決后都要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題規(guī)律的反思，找出解決問(wèn)題的普遍適用性規(guī)律，并對(duì)今后的問(wèn)題解決有所幫助，從而提高解決問(wèn)題思維的深刻性，形成良好的思維品質(zhì).

如在學(xué)習(xí)二次根式化簡(jiǎn)時(shí)，我就讓學(xué)生做了如下判斷題.

例4：判斷下列各式是否成立？

（1）■=2■ （2）■=3■

（3）■=3■ （4）■=4■.

學(xué)生通過(guò)運(yùn)算，很快就得到第（1）、（3）、（4）題成立，第（2）題不成立.

這時(shí)我就趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察各式的構(gòu)造，反思、探索各小題的解題規(guī)律，并向?qū)W生提出：請(qǐng)用一個(gè)式子表示出第（1）（3）（4）小題的運(yùn)算規(guī)律？

學(xué)生通過(guò)觀察探索，能得出一般式：■=n■（n為大于1的整數(shù)）.

讓學(xué)生透過(guò)問(wèn)題表象，洞察其本質(zhì)，對(duì)解題規(guī)律反思，能由特殊到一般的規(guī)律歸納，得出一類問(wèn)題的解決方法，同時(shí)提高了學(xué)生思維的深刻性.

四、反思題目特征，提高思維創(chuàng)造性

阿西莫夫說(shuō)“創(chuàng)新是科學(xué)房屋的生命力”.而對(duì)題目特征的反思，將能夠?qū)︻}目進(jìn)行逐步引申、變式和推廣，能夠更深入地思考、認(rèn)識(shí)問(wèn)題并解決問(wèn)題，并挖掘、拓展出所學(xué)知識(shí)的深度和廣度，讓學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)另辟蹊徑，會(huì)有求變、奇異的想法，從而培養(yǎng)學(xué)生具有創(chuàng)造性的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的思維發(fā)散與應(yīng)變能力.

如在中考復(fù)習(xí)時(shí)，我給學(xué)生顯示如下例題.

例5（2013年福建南平市中考卷第25題）：如圖4，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，過(guò)E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點(diǎn)，連接BF、FG、GB.設(shè)■=k.

圖4

（1）證明：△BGF是等腰三角形；

（2）當(dāng)k為何值時(shí)，△BGF是等邊三角形？

（3）我們知道：在一個(gè)三角形中，等邊所對(duì)的角相等；反過(guò)來(lái)，等角所對(duì)的邊也相等.事實(shí)上，在一個(gè)三角形中，較大的邊所對(duì)的角也較大；反之也成立.利用上述結(jié)論，探究：當(dāng)△BGF分別為銳角、直角、鈍角三角形時(shí)，k的取值范圍.

在學(xué)生求解原題后，我引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)題目的條件與結(jié)論互換，或使圖形發(fā)生變化，讓學(xué)生在條件或圖形的變化中觀察、發(fā)現(xiàn)其中隱含的不變量，從中找出規(guī)律，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的目的.

變式一：如圖4，原題中的條件只是把“EF⊥AC”改為“△BGF是等腰三角形”，而其他條件均不變.結(jié)論改為如下：

（1）求證：EF⊥AC（或EF與AC有何位置關(guān)系？并說(shuō)明理由）；

（2）當(dāng)k=1時(shí)，判斷△BGF是什么三角形？當(dāng)k=時(shí)，△BGF又是什么三角形？并說(shuō)明理由.

變式二：如圖5，已知AB⊥BE于B，EF⊥AF于F，G為AE中點(diǎn).

（1）求證：A、E、B、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

（2）若EB、AF的延長(zhǎng)交于C點(diǎn)，且AB=BC，則判斷BG與FG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖5 圖6

圖7 圖8

（2）如圖8：若B、F在直徑AE兩側(cè)，其他條件均不變，則（1）中的結(jié)論是否均成立？并選擇其一說(shuō)明理由.

這組變式題，證明思路均來(lái)源于課本的例題、習(xí)題，但通過(guò)對(duì)原題的條件和圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏鸵辏蓪⒅R(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，并能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力并重的解題思路.本題以合情推理開(kāi)始，滲透探究意識(shí)自始至終，引導(dǎo)我們從教與學(xué)這兩個(gè)方面對(duì)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新精神進(jìn)行培養(yǎng)，讓學(xué)生能積極探求、大膽猜想、深入挖掘，同時(shí)引導(dǎo)教學(xué)由結(jié)果教育向過(guò)程教育的轉(zhuǎn)變.

五、結(jié)語(yǔ)

居安思危，思則有備，有備無(wú)患，故解題必須反思，而本文只是對(duì)問(wèn)題理解、解題過(guò)程、解題規(guī)律、問(wèn)題特征進(jìn)行反思探索.教師通過(guò)在課堂教學(xué)中的示范、引導(dǎo)，讓學(xué)生逐步養(yǎng)成具有反思的意識(shí)和習(xí)慣，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到優(yōu)化，學(xué)習(xí)效率得到提高，創(chuàng)造興趣和創(chuàng)新意識(shí)得到激發(fā)，成為創(chuàng)新型人才.

參考文獻(xiàn)：

[1]譚遠(yuǎn)森.《在反思中“破繭”在學(xué)習(xí)中高飛》.《中學(xué)教學(xué)參考》，2009.6.

[2]林婷.《數(shù)學(xué)探究性教學(xué)中應(yīng)樹(shù)立幾種意識(shí)》.《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》，2005.1.

[3]夏克旺.《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見(jiàn)錯(cuò)誤的分析與防止對(duì)策》.《中學(xué)數(shù)學(xué)教育》，2005.6.