高中算法教學研究性課題的開發

王敏

摘 要： 在高中數學教學中，為了培養學生使用數學解決實際問題的創新能力，本文提出了基于智能優化算法的研究性課題。在這一研究性課題的教學設計中，通過引入課題、介紹算法、建立模型、進行運算、討論結果這五步，使學生解決了日常生活中的優化問題。教學設計的結果表明，基于智能優化算法的課題適用于高中數學研究性學習。

關鍵詞： 高中數學 研究性學習 算法

1.高中數學的研究性學習

高中數學的研究性學習有著重要意義[1，2]，它能使學生在思考和分析數學材料的過程中，培養理解和感悟數學的能力，進一步認識數學的本質。研究性學習可以啟發學生的創新意識，使學生遇到生活中的一些問題時，能夠自主使用數學知識解決這些問題。由此可見，研究性學習需要的問題，應該是與高中數學基礎相近的問題。對于高中數學的研究性課題，學生可以進行學習、試驗、思考、爭辯，并在課題的研究中找到數學領域的新天地。

高中數學教材[3]指出，算法是計算機科學的基礎，計算機已成為人們日常生活不可缺少的工具。對于高中生，從日常生活中選擇引入研究性課題的材料，更容易被學生接受。人們在日常生活遇到的很多問題，都可以利用一些已有的算法和相應的計算機程序解決。因此，在算法教學中開展研究性學習，有著廣闊的前景。下面提出一種基于智能優化算法的課題式教學設計。我們計劃采用NSGA2作為教學實踐中的智能優化算法。

2.基于智能優化算法的課題式教學設計

基于智能優化算法的課題式教學設計分為引入課題、介紹算法、建立模型、進行運算、討論結果五個部分。

2.1引入課題

教師：如果在假期我們打算去旅游，有很多景區可以選擇。我們對這些景區的興趣不同，這些景區的門票和交通費用也不同，去更多的景區開闊眼界是每個人的愿望。因此，我們應該認真思考選擇哪些景區。這是一個很難通過思考得到結果的問題，通過智能優化算法可以代替我們的大腦解決這個問題。

2.2介紹算法

教師：所謂人工智能，就是通過各種算法模擬大腦的工作，目的是代替我們的大腦進行思考，解決各種問題。智能優化算法是人工智能的一種算法，它可以代替我們的大腦解決優化問題。

學生：那上面的問題是優化問題嗎？

教師：在上面選擇哪些景區的問題中，我們有三個目的，一是選擇的景區總的興趣較高，二是選擇的景區總的門票和交通費用較低，三是選擇景區的數量盡量多。這三個目的往往是相互沖突的，我們需要選擇一些景區最好地達到這三個目的。由此可見，這是一個優化問題，智能優化算法可以幫助我們解決這個問題。

學生：我們怎么使用智能優化算法呢？

教師：我們首先應該運用課本中所學的算法知識，初步了解智能優化算法的計算原理。我們已經選擇的這些景區被稱為決策變量；對于我們選擇范圍內的所有景區，稱為決策空間。決策變量是在決策空間中隨機選擇的。如果我們可以最多同時選擇5個景區，決策變量就是5維向量，即■=（x■，x■，…，x■），其中x■到x■這5個景區在所有景區中隨機選擇，這5個景區可以互相重復。

學生：景區怎么用數字代替呢？

教師：景區可以按照先后順序依次用數字代替，比如第一個景區就是1。對于我們的三個目的，也需要把它們轉化成數字才能進行計算。我們對每個景區都進行排名，排名靠前表明興趣高。這樣第一個目的就是中所有互不重復的景區名次的和。類似的，第二個目的就是中所有互不重復的景區門票和交通費用的和。第三個目的應該是中所有互不重復的景區數量。景區的名次和費用如表1所示。表中第一行和第四行是景區的編號，第二行和第五行是景區的排名，第三行和第六行是景區的費用，數字的單位是元。

表1 景區的名次和費用

學生：怎樣計算呢？

教師：通過以上分析可知，不管是景區名次的和，景區門票和交通成本的和，還是景區數量，它們的大小都是由■決定的。它們是■的函數，因此我們稱這些函數為目標函數。我們只要擁有用數字表示的決策空間和決策變量，以及用數字計算的目標函數，就可以使用智能優化算法選擇到最適合我們的景區。

2.3建立模型

學生：怎樣建立目標函數呢？

2.4進行運算

學生：怎樣調用智能優化算法的程序呢？

教師：為了降低讀寫程序的難度，我們選擇matlab語言。在調用智能優化算法程序的主文件中正確編程，就可以實現建立的數學模型，得到需要的結果。主文件中的matlab代碼是：

X2=fix（X*20）；

X3=X2+1；

C=zeros（20，1）；

forn=1：5

C（X3（n，1），1）=1；

end

[a，b]=find（C）；

C2=[a，b]；

[a1，b1]=size（C2）；

A=[6；3；16；11；7；17；14；8；5；19；15；1；2；4；18；13；9；20；10；12]；

forn=1：a1

W1（n）=A（C2（n，1），1）；

end

W2=sum（W1）；

B=[1200；2000；200；1400；1500；1000；1300；1800；800；900；100；500；1700；1100；700；600；1600；300；400；1900]；

forn=1：a1

W3（n）=B（C2（n，1），1）；

end

W4=sum（W3）；

F（1）=W2；

F（2）=W4；

F（3）=1/a1；

對于智能優化算法，代碼中的X是m1維矩陣。通過設定m=5，這里X是5x1維矩陣，其中的5個元素均是從0.0000到0.9999中的隨機數。fix（）是matlab的取整函數，即實數的整數部分。因此，X2中的5個元素均是從0到19中的隨機數。X3中的5個元素均是從1到20中的隨機數。這樣，代碼中的X3是模型中的。zeros（）是matlab的矩陣生成函數，生成的矩陣中元素都是0。因此C是201維0矩陣。通過for循環語句，我們使X3指定的元素全是1。find（）是matlab的查找函數，查找矩陣中非0元素的位置，生成相應的矩陣。因此C2是C中非0元素的位置，也是X3中所有互不重復的數。size（）函數得到矩陣的行數和列數，這樣a1是C2的行數，是模型中的n。代碼中的A和B是模型中的A和B。通過for循環語句，我們使W1和W3中的元素，是C2指定的A和B中的值，代碼中的F（1）、F（2）、F（3）表示目標函數。對于智能優化算法，可以設定優化結果的個數，我們設定結果的個數是10，計算結果如表2所示。

表2 計算結果

2.5討論結果

教師：從表2可以看出，這10個景區的選擇方式都很好，分別偏向了我們的三個目的。把它們互相比較，難分高低。智能優化算法很好地解決了選擇哪些景區的問題，我們的大腦也很難想出這樣的結果。在生活中還有很多其他的優化問題，我們也可以通過建立數學模型、編寫matlab程序、進入智能優化算法進行計算的辦法，解決這些復雜的問題。

3.總結

基于智能優化算法的課題式教學設計，主要涉及隨機數的產生和矩陣的基本定義這兩個知識點，它們在高中數學教材中都有介紹。matlab語言簡單易學，通過互聯網就可以了解其編程技巧。因此，基于智能優化算法的課題適用于高中數學研究性學習。

參考文獻：

[1]杜振義.關于高中數學研究性學習的思考[J].數學教學與研究，2014（10），54-55.

[2]張曉兵.例談數學教學中的“微課題”研究[J].數學教育研究，2012（5），13-14.

[3]普通高中課程標準實驗教科書數學必修3[M].人民教育出版社，2012.

[4]鄭金華.多目標進化算法及其應用[M].科學出版社，2007.