離散數學簡介及應用

邊策 鄂松

摘 要： 離散數學是現代數學的一個重要分支，在各學科領域，特別在計算機科學與技術領域有著廣泛的應用，同時是計算機專業的許多專業課程，如程序設計語言、數據結構、算法設計與分析等課程必不可少的先行課程。通過離散數學的學習，不但可以掌握處理離散結構的描述工具和方法，為后續課程的學習創造條件，而且可以提高抽象思維和嚴格的邏輯推理能力，為將來參與創新性的研究和開發工作打下堅實的基礎。

關鍵詞： 離散數學 簡介 應用

1.離散數學的簡介

離散數學是現代數學的一個重要分支，是計算機類專業的重要課程。它以研究離散量的結構及相互間的關系為主要目標，研究對象一般是有限個或可數個元素，因此離散數學可以充分描述計算機學科離散性的特點。它是傳統的邏輯學、集合論（包括函數）、數論基礎、算法設計、組合分析、離散概率、關系理論、圖論與樹、抽象代數、布爾代數，計算模型（語言與自動機）等匯集起來的一門綜合學科。該課程主要介紹離散數學的各個分支的基本概念、基本理論和基本方法。這些概念、理論及方法大量地應用于數字電路、編譯原理、數據結構、操作系統、數據庫系統、算法的分析與設計、人工智能、計算機網絡等專業課程中；同時，該課程提供的訓練有益于學生概括抽象能力、邏輯思維能力、歸納構造能力的提高，有利于學生嚴謹、完整、規范的科學態度的培養。

2.離散數學在其他學科的應用

2.1數理邏輯在人工智能中的應用

人工智能是計算機學科一個非常重要的方向。離散數學在人工智能中的應用，主要是數理邏輯部分在人工智能中的應用，包括命題邏輯和謂詞邏輯。命題邏輯就是研究以命題為單位進行前提與結論之間的推理，而謂詞邏輯就是研究句子內在的聯系。人工智能共有兩個流派：連接主義流派和符號主義流派。在符號主義流派里，他們認為現實世界的各種事物可以用符號的形式表示出來，其中最主要的就是人類的自然語言可以用符號進行表示。語言的符號化就是數理邏輯研究的基本內容，計算機智能化的前提就是將人類的語言符號化成機器可以識別的符號，這樣計算機才能進行推理，才能具有智能。由此可見，數理邏輯中重要的思想、方法及內容貫穿人工智能的整個學科。

2.2圖論在數據結構中的應用

離散數學在數據結構中的應用，主要是圖論部分在數據結構中的應用，其中樹在圖論中占著重要的地位。樹是一種非線性數據結構，在現實生活中可以用樹來表示某一家族的家譜或某公司的組織結構，也可以用它來表示計算機中文件的組織結構，樹中二叉樹在計算機科學中有著重要的應用。二叉樹中三種遍歷方法：前序遍歷法、中序遍歷法和后序遍歷法，均與離散數學中的圖論有密不可分的關系。

2.3離散數學在生物信息學中的應用

生物信息學是現代計算機科學一個嶄新的分支，是計算機科學與生物學相結合的產物。目前，美國有一個國家實驗室Sandia國家實驗室，主要進行組合編碼理論和密碼學的研究，該機構在美國和國際學術界有很高的地位。另外，由于DNA是離散數學中的序列結構，美國科學院院士，近代離散數學的奠基人Rota教授預言，生物學中的組合問題將成為離散數學的一個前沿領域。而且IBM公司將成立一個生物信息學研究中心。在1994年，美國計算機科學家阿德勒曼公布了DNA計算機的理論，并成功地運用DNA計算機解決了一個有向哈密爾頓路徑問題，這一成果迅速在國際產生了巨大反響，同時引起了國內學者的關注。DNA計算機的基本思想是：以DNA堿基序列作為信息編碼的載體，利用現代分子生物學技術，在試管內控制酶作用下的DNA序列反應，作為實現運算的過程；這樣，以反應前DNA序列作為輸入的數據，反應后的DNA序列作為運算的結果，DNA計算機幾乎能夠解決所有的NP完全問題。

2.4離散數學在門電路設計中的應用

在數字電路中，離散數學的應用主要體現在數理邏輯部分的使用。在數字電路中，廣于使用的邏輯代數即為布爾代數。邏輯代數中的邏輯運算與、或、非、異或與離散數學中的合取，析取、否定、異或（排斥或）相對應。數字電路的學習重點在于掌握電路設計技術，在設計門電路時，要求設計者根據給出的具體邏輯問題，求出實現這一邏輯功能的邏輯電路。

總之，離散數學無處不在，它的主要應用就是在各種復雜關系中找出最優的方案。離散數學完全可以看成是一門量化的關系學，一門量化了的運籌學，一門量化了的管理學。現在我國每一所大學的計算機專業都開設離散數學課程，正是由于離散數學在計算機科學中的重要應用，因此可以說沒有離散數學就沒有計算機理論，也就沒有計算機科學。所以應努力學習離散數學，推動離散數學的研究，使它在計算機中有著更廣泛的應用。

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