如何在平時教學中拿下基礎題

丁偉偉

摘 ? ?要： 本文針對江蘇省高考數學19題（1）問中考生出現的主要問題，談談在平時教學中如何從理解概念和掌握一類問題的基本思路兩個方面真正拿下基礎題.

關鍵詞： 高考數學 ? ?概念教學 ? ?基本思路 ? ?單調性

筆者繼2011年高考閱卷后又有幸參加了江蘇省2015年數學高考閱卷，批閱的正好是19題.第（1）問是含參的三次函數單調性討論的基礎題，預測本問得分率應該不低.而實際批改時情況卻很糟糕，最終此問均分不過四點幾分.主要問題有：（1）求完導后無思路;（2）不知道a對進行分類討論;（3）單調區間亂放并.針對本小題出現的問題，筆者進行了反思，并結合平時教學中的措施和體會，談談如何從理解概念和掌握基本思路兩個方面讓學生不功虧于基礎題，以期拋磚引玉.

一、治療區間亂放并，理解概念是良藥

19題（1）問主要錯誤之一是單調區間亂放并.教師在平時教學中對此問題已是苦口婆心，然而盲點依然“逍遙法外”.是學生笨嗎？這個問題真的很難？都不是.是學生沒有真正理解單調性定義中的“任意”.而“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”——中國科學院李邦河院士（數的概念的發展.《數學通報》，2009，8）.因此，重視概念教學毋庸置疑.筆者針對單調性定義的理解作了如下習題教學設計：

例1：畫出下列函數圖像，并寫出單調區間：

（1）y=-x+2; （2）y=（x≠0）

設計意圖：本例來源于課本，旨在反映單調性是局部性質：即函數在某個區間上是單調函數，但在整個定義域上不一定是單調函數.但（2）是學生的一個盲點，而且正確與否直接反映學生對單調性定義的理解與否.所以不可操之過急，要動之以情.以下記錄的是筆者精心設計的片段：

生1：（2）中函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），單調減區間也為（-∞，0）∪（0，+∞）.

師：此函數圖像在整個定義域上都是單調遞減嗎？請從左往右仔細觀察圖像.

生2：函數的單調減區間有兩個：（-∞，0）和（0，+∞）.函數圖像整體上從左往右看不是下降的.

師：很好.從形的角度解釋本題的兩個單調減區間之間不能放并.所以同學們要養成畫草圖看單調性的習慣.同學們能否再從單調減區間定義出發說明不能放并呢？

生3：在區間（-∞，0）∪（0，+∞）中取-1和2，-1<2，<，不滿足單調遞減的定義.

師：很好.通過找到一個反例，發現與單調減區間定義中的“任意”矛盾.從數的角度再次說明這兩個減區間之間不能放并.所以本題答案：單調減區間是（-∞，0）和（0，+∞）.放并就變成一個了.

練習1：根據下列函數圖像，寫出單調區間.

（1） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

（3） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

答案：（1）增區間為（-∞，0]和（0，+∞）

（2）增區間為R

（3）增區間為（-∞，0]∪（0，+∞）

（4）減區間為（-∞，-2.5）和[1，+∞），增區間為[-2.5，1]

設計意圖：由于高一學生基本初等函數圖像模型掌握較少，因此可以設計性地給出函數圖像，在豐富學生的圖形庫的同時，通過練習對比：圖（1）（4）不能放并，圖（2）（3）要放并，讓學生從形的角度真正理解“并”的去留，而并非教師口中通常所說的單調區間不能放并.

練習2：（蘇教版必修1課后練習P408）判斷下列說法是否正確：

（1）若定義在R上的函數f（x）在區間（-∞，0]上是單調增函數，在區間[0，+∞）上也是單調增函數，則函數f（x）在R上是單調增函數.

（2）若定義在R上的函數f（x）在區間（-∞，0]上是單調增函數，在區間（0，+∞）上也是單調增函數，則函數f（x）在R上是單調增函數.

設計意圖：練習1是從圖形直觀感知，練習2旨在讓學生自己通過畫圖并適當進行代數說理進行判斷正誤.如果學生能將練習1中的四個圖納為己用，解決練習2，那么體現的不僅是學生圖形庫的豐富，而且是在靈活應用中對單調性的認識上升到了理性層次.

二、重重障礙不可怕，基本思路定心丸

19題（1）問中通過設置參數考察了分類討論的思想，這是高中重要的思想方法之一，它體現了思維的嚴謹性和全面性，對思維的要求較高.然而將這樣的思想方法放在第一問，是不是意味著第一問就變成了難題呢？非也.

數學中很多問題都有其解決的基本思路，有時我們認為一個問題較難，只是因為在基本思路的某一步或某幾步中設置了一些障礙.例如用導數研究單調性的基本思路如下：

S1：求定義域

S2：求f′（x）

S3：判斷方程f′（x）=0在定義域內是否有根

S4：列表畫草圖

S5：寫出單調區間

出現求完導后無思路的情況顯然是未掌握用導數研究單調性的基本思路，若再添加幾個參數干擾，則自然無所適從.而不知道對a的范圍進行討論的考生大多數沒有列表，不然就會考慮到0與-a是如何分割定義域的，分類討論自然水到渠成.考生如果理解單調性的定義，養成畫草圖的習慣，那么不論是從形還是數的角度都不會亂放并的.所以，掌握了基本思路，即使在多個步驟設置障礙，也不會黔驢技窮.

數學中還有很多其他類問題都有解決的基本思路，如：二次函數求最值、用導數研究函數最值、解一元二次不等式.這些問題中都可以通過設置參數考察分類討論思想增加難度，但仍然屬于基礎題.令人不解的是，栽在這幾類問題上的學生每屆都有.如果教師授予的是基本思路，并在平時教學設計中多體現障礙可能出現在哪幾步，那么學生做此類問題時定有“會當凌絕頂，一覽眾山小”之感.

高考中，基礎題是學生踏進象牙塔的前提.如何助學生不失江山于基礎，筆者認為平時教學中要注重概念教學.除了重視概念的生成外，還要針對概念理解中的盲點，精心設計，充分發揮教材例題和習題的作用.此外，教師還要教給學生解決某一類問題的基本思路，讓學生認識到障礙可能出現在哪幾步中，給學生一顆定心丸.這樣，學生才能在高考中穩操勝券地拿下基礎題.

參考文獻：

[1]單壿.普通高中課程標準實驗教科書：數學1[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.