剖析不同解題方法，深刻理解感應電動勢

王棟 傅永平 譚敏

摘 要： 本文深入剖析了一道電磁感應例題，提出幾種不同解法，有對有錯，分析了不同解法的對錯原因及物理意義。在教學中，這種分析可以開拓學生思維，使物理概念更清晰，達到物理教學目的。

關鍵詞： 電磁感應 磁通量 電動勢

在奧斯特發現電流周圍能夠產生磁場后，物理學家們立即想到：磁場能否產生電流呢？物理學很多理論都具有對稱的美感，法拉第堅信這種對稱美也存在于電流和磁場之間，于是他經過十年不懈努力，終于發現了電磁感應規律，即法拉第定律：不論什么原因使通過回路面積的磁通量發生變化，回路中均會產生感應電動勢，其大小與通過該回路面積的磁通量隨時間的變化率成正比，即：

ε=

這一規律的發現，不僅大大推動了電磁理論的發展，而且對生產實踐也起到了很大促進作用。

在大學物理教學中，法拉第定律是一個非常重要的內容，它提供了一種計算感應電動勢的簡單方法：只要計算磁通量隨時間的變化率即可。式中的負號代表感應電動勢的方向，而方向可由楞次定律判定，若只考慮電動勢大小，則可忽略負號，或者取絕對值。于是，需要先計算任意時刻的磁通量，再把磁通量對時間求導。作為一個簡單的例子，圖1所示的情況值得在課堂讓學生練習，并進行深入剖析。

如圖所示，在磁感應強度的大小B=kt（k>0），方向與導線回路的法線方向成60°角的均勻磁場中，一長為l的導體棒AB以速度v向右滑動，設t=0時，AB與CD重合，求任意時刻導線回路的感應電動勢的大小。

對于這個題，在此提供幾種不同的解法，有對的，也有錯的：

以上四種解法，（2）和（3）結果相同，（1）和（4）結果相同，表面上看解題過程似乎并沒有什么問題，卻得到不同的結果。事實真相只有一個，四種解法中有兩種肯定是不對的。仔細分析，不難發現其中問題。

解法（1），根據均勻磁場磁通量的計算方法，用t時刻的磁感應強度B點乘t時刻的面積S，得到t時刻的磁通量，再求磁通量的變化率，這是沒有問題的。那么解法（2）肯定就有問題了，實際上解法（2）中求得的φ并不是t時刻的磁通量。表面上看，用積分的方法求磁通量似乎更合理，但最終把對面積的積分轉化為對時間的積分，就使得不同面元處磁感應強度不同。積分中取面元dS=（lvdt）e，元磁通量dφ=B·dS，其中的B是隨時間增大的，越往左的面元中，所涉及的磁場越小，在CD附近，磁感應強度甚至為零。這是不合理的，因為磁場是均勻磁場，任意時刻，各面元處的磁感應強度都應該相等。如果要用積分求磁通量，就要考慮磁場在空間的分布規律，即均勻磁場：

這就跟解法（1）一樣了。解法（3）和解法（4）繞開積分，用微分的方法求感應電動勢，即用dt內的磁通量增量dφ除以dt，也是可以的。但是在解法（3）中，求出的dφ并不是dt內的磁通量增量，這里只考慮了因面積變化導致的磁通量變化，缺少了磁場變化引起的磁通量變化，實際上只求出了感應電動勢的一部分。解法（2）和解法（3）的錯誤本質上是一致的，因為它們的元磁通量一致。解法（4）中，對φ求導，根據求導法則，分別對B和S求導。從物理意義上說，分別考慮了磁場和面積變化引起的磁通量變化，思路非常清晰，意義非常明確。

以上四種解法中，主要分歧在于分析磁通量變化時是否考慮完全，磁通量的變化可以是因為磁場變化或者面積變化。因此，物理學家對感應電動勢做了這樣的分類：因磁場變化而產生的電動勢稱為感生電動勢，因面積變化（導體運動）而產生的電動勢稱為動生電動勢。產生這兩種電動勢的非靜電力不同，分別為渦旋電場力和洛倫茲力，于是根據電動勢的定義，可以寫出電磁感應的另一種表達式：

式中第一項為感生電動勢，第二項為動生電動勢。這一表達式反映了電磁感應現象的根源，也可以用于計算感應電動勢。對于本文討論的例題，如果用這種表達式計算，就不會出現磁通量變化考慮不完全的問題。以下為解題過程：設回路繞向為逆時針，其中，

于是ε=-klvt，式中負號表示方向與所設方向相反，為順時針。

綜上所述，一個簡單的例題，在教學中可以多角度進行分析，這樣既可以使物理概念更清晰，意義更明確，又可以開拓學生思維，學生理解起來也更容易，而不需死記硬背，這也正是學習大學物理的意義所在。

參考文獻：

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