高中函數概念一節問題比較分析及教學建議

祝振志

摘 要： 本文以北京師范大學出版社高中《數學1（必修）》、人民教育出版社高中《數學1（必修）A版》教科書函數概念一節內容為研究對象，從“與學生的交流”和“對學生的要求”兩個維度比較分析.研究發現：人教版函數概念范例呈現講究實效，方便自學，北師大版教材范例呈現講究點到為止的啟發式學習，適合探究式合作學習；人教版教材問題數量是北師大版的2倍多，但人教版整體問題綜合難度偏低.

關鍵詞： 數學教科書 范例 比較研究

一、問題提出

隨著高中數學課程標準的頒布實施與新課改的需要，現階段我國有五種版本新課標的數學教材在各省使用.課改前，大部分省份采用的都是人教版的數學教材；課改后，各省份根據本省學情選取了適合自己的教材.前后教材版本的不同對一些經驗豐富的老教師提出了挑戰，即前版本對應數學內容的教學方法是否適用于新版本，前版本教材側重的基本知識和基本技能，新版本弱化了，能否在新版本補充這些基本知識和基本技能，等等.

如何做好兩個版本教學銜接的問題，除了研究課程標準、新版本教材特點和教學目標外，我們有必要對兩個版本教科書具體對應內容做比較分析.函數是貫穿高中數學六大主線之一，其重要性不言而喻，而函數概念又是學生從初中升入高中接觸的第一個既抽象又難理解的概念，故函數概念的教學極其重要.因此下面分別選取北京師范大學出版社出版的普通高中課程標準教科書《數學1（必修）》和人民教育出版社出版的普通高中課程標準教科書《數學1（必修）A版》函數概念的一節內容作比較.

二、分析框架

文獻[1]的作者通過對以往關于教材比較文獻分析后提出了一個橫向和縱向的教科書比較分析框架，用以調查教科書為學生提供的學習機會，并運用這一框架對三個地區小學數學教科書中分數加減法內容進行了比較研究.本文在此框架的基礎上，結合函數概念內容的特點，主要對北師版和人教版教科書函數概念問題模塊進行比較分析，分析框架如下：

表1 教科書的分析框架

在表1中，“與學生的交流”主要指教科書如何將數學知識傳遞給學生，包括數學內容、數學思想。

三、函數概念的問題比較

函數概念初步建立之后，學生需要進一步認識和理解概念，通常范例和問題是幫助學生理解和構建概念的重要組成部分.所以下面主要分析兩個版本教科書范例和問題的異同.

3.1范例

范例主要指教材中演示某個特定步驟或技能的例子，但不局限于給出完整的解題步驟或給出答案的例子.下面主要從教科書中范例的呈現順序和范例解題步驟兩個方面分析比較.

3.1.1范例的呈現順序

在概念的理解部分，北師大版在給出函數的概念之后，首先，通過兩個大家比較熟悉的反比例函數和一元二次函數，讓學生對新概念形成初步認識；然后，從集合的角度解釋了三個具有不同背景函數，讓學生再次認識函數的概念；最后，用一個有實際背景函數，升華概念的理解.

人教版在處理函數理解的部分，則采取了不同的范例呈現順序.首先，從集合角度分析三個不同背景函數的對應關系，讓學生分析、歸納三個實例的共同點，得到函數的概念，形成概念的初步認識；其次，通過學生熟悉的一次函數和二次函數，讓學生建立新舊知識聯系，以達到概念再認識的目的；最后，讓學生經歷求函數定義域、函數值和判斷兩個函數是否相等的過程，強化雙基，達到同化概念的目的.

3.1.2范例的解題步驟的比較

我們把范例的解題步驟分為完整解題步驟和部分解題步驟.完整解題步驟應該包括：分析、求解過程、結果、反思四部分，而部分解題步驟只包含以上四部分當中的一個或幾個，如只有求解過程和結果.按照以上劃分規則得到：

表7 解題步驟范例數量對比

表8 范例解題步驟詳細對比

由表7和表8可知，北師大版函數的概念側重于探究式學習，教科書上的范例解題步驟都是部分解題步驟，都是點到為止的啟發式學習.人教版則側重于盡可能向讀者展示完整的解題步驟，通過詳細分析，夯實讀者的數學雙基.

3.2問題比較分析

本文研究的問題是指教科書中函數概念一節相關問題，包括范例、思考題、練習、課后習題.我們從問題類型、問題難度、范例呈現的解題步驟三個視角進行比較分析.

3.2.1問題類型及數量比較

我們把有關函數概念的問題按題型進行了劃分[2]，并對問題數量進行了統計，得到如下表格.

表5 兩版本教材問題形式及數量統計

通過觀察上表，我們得到以下結果：

（1）兩版本教科書課內鞏固習題的數量相差不大，分別是13和14.

（2）人教版題目總數量遠高于北師大題目的數量，是北師大版的2倍多.

（3）人教版課后習題的數量是北師大版教科書的3倍多，這樣處理雖能促進學生對新知識的掌握和理解，但無形中加重了學生的負擔.

我們仔細分析任教版有關函數概念的題目，發現人教版課后習題數量多的原因在于對課后習題設置了層次化的變式.如關于已知函數解析式求解函數值的問題，一共有三個變式；而關于求函數定義域的問題，也有三組變式.

3.2.2問題難度比較

根據文獻[2]，我們計算出如下表所示的一組題目綜合難度.

表6 兩版本問題難度因素的加權平均

根據鮑建生的蛛網難度模型[3]，得到兩版本問題綜合難度對比圖.

圖6 兩版本題目難度綜合比較

從圖中可以看出，北師大版教科書函數概念問題整體難度高于人教版，主要表現在：問題探究水平、背景深度、運算量和知識點含量的難度都高于人教版；而人教版問題推理水平難度則略高于北師大版.這從側面說明了，北師大版函數概念配套問題數量雖少，但探究性強，思維深度較高；而人教版，配套問題數量雖遠高于北師大版，但整體難度偏低.

3.3對學生認知要求的比較

3.3.1潛在認知要求對比

文獻[1]把問題對學生潛在認知要求劃分為四個層次，分別是記憶型、無聯系的程序型、有聯系的程序型、做數學.結合兩版本教科書內容的特點和新課標對知識與技能的認知要求，對以上四個層次水平理解如下：

*記憶型：任務要求對以前學過的知識在理解的基礎上簡單記憶.如求y=■的定義域和值域.

*無聯系的程序型：任務側重訓練學生的基本技能，如計算、化簡、解不等式等，與概念的理解無關.

*有聯系的程序型：任務強調問題的解決過程，與概念的理解相關.如判斷兩個函數是否為同一個函數.

*做數學：任務沒有暗示可預期的解決途徑，屬于開放性問題，答案通常不唯一，需要將具體問題上升到本質聯系，并進行復雜的思考、設計解決方案等.

按照以上四個認知要求標準，對教科書中的問題進行了劃分，得到如下條形統計圖：

圖7 兩版本認知要求對比對比

由上圖可知，兩個版本教科書中的問題對學生認知要求主要集中在有程序的聯系型和無聯系的程序型，即二者都注重培養學生的雙基.從問題數量上看，人教版整體認知要求要高于北師大版.

3.3.2作答類型的對比

結合兩個版本問題的特點，把問題作答類型劃分為答案和數學陳述、解釋、推理論證三個層次.答案和數學陳述指的是解答過程不僅要求有結果，還要做相關數學說明；解釋指的是為了加深概念的理解，把問題與概念對應起來的一個過程；推理論證指的是根據一般的原理和結論說明某個特殊問題的合理性.

按照以上規則，得到如下表7所示的兩套教材關于問題作答類型的比較，北師大版以“答案和數學陳述”和“解釋”為主要作答類型；而人教版三個作答類型比例則比較均勻.

表7 兩版本問題回答類型對比

四、結論與啟示

在“函數概念”內容的呈現方式上，兩版本教材的問題都以“無程序的聯系型”和“有程序的聯系型”為主.但人教版教材問題總量較大，是北師大版的2倍多，其原因在于人教版通常對同一個知識點設置幾組變式練習，意在加強訓練學生的基本知識和基本技能.雖然，人教版問題總量較大，但問題總體知識難度低于北師大版.此外，人教版教材通常會在問題旁邊附加旁白，作為對教材正文內容的補充或拓展.北師大版問題數量相對較少，但教材有意對某些內容“留白”，旨在讓學生自己填空，激發學生的學習積極性.如在給出函數定義之后，北師大版教材又給出三個不同表現形式的函數，但并沒有結合函數定義從集合的角度具體分析.且北師大版問題的探究性和背景的豐富性要高于人教版.主要表現在教材中設置學生自己動手參與的思考交流欄目及問題類型與生活聯系緊密.

兩套教材不同的內容組織與呈現方式體現出編排者教學理念的不同.人教版教材無論從函數概念的引入還是范例等問題的呈現都講究實效，方便學生自學；北師大版教材范例呈現的特點主要表現為點到為止的啟發式問題，學生需要結合函數定義，對問題進行加工.也就是說北師版教材側重于探究式學習，注重讓學生經歷自我構建知識的過程.

參考文獻：

[1]Charalambous，C.Y.，Delaney，S.，Hsu，H.，Mesa，V. A Comparative Analysis Of the Addition and Subtraction Of Fractions in Textbooks from Three Countries （Areas）[J].Mathematical Thinking and Learning，2010，12（2）：117-151.

[2]陳月蘭，袁思情.中美教材“指數函數與對數函數”內容的組織與呈現方式比較[J].數學通報.2013（8）.

[3]鮑建生.中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002（31）.