例談解題后的反思

王麗霞

一、背景

在高三數學一輪復習中，很多同學做題成百上千，學習態度也比較端正，但究其效果，往往不是很理想，成績也沒因此提高多少.究其原因，主要因為他們都采用題海戰術，一味地做題目，只重視最后算出的結果，而不去總結和探究解題規律，忽視了解題后的第二次思考，沒有使自己辛辛苦苦所獲得的思維成果得到鞏固、升華和提高.

二、具體過程

筆者認為解題之后對其進行反思既對學生的解題能力提高有所幫助，又讓學生節約了大量做同一種類型題目的時間.

（一）對解題過程反思，總結解題規律

題目求解正確，有些同學便認為解題結束，其實不然，數學問題解決的主要目的在于：通過解題更全面、深入地理解數學概念、定理及性質，歸納總結出分析數學問題的思維方法.因此，在解題正確之后，同學們應該思考下面一系列問題：①解題過程是否錯誤；②解題過程有無條理；③解題過程能否進一步完善.

通過反思解題過程，我們可以總結出解決一類問題的解題方法，從而由點到面，大大提高解題速度和對題目的遷移能力.

例1：已知二次函數f（x）=ax+（2a-1）x+1在區間[-，2]上的最大值為3，求a的值.

解：（1）當a>0時，由于二次函數圖像開口向上，則最大值只能在端點處取得.

①若f（-）=3，則得a=-，與a>0矛盾，舍去；

②若f（2）=3，則得a=，再檢驗此時的對稱軸發現剛好在這個區間內，符合題意.

（2）當a<0時，-=-1+<-1<2，再分兩小類.

①若-<-即-1

②若-≤-≤2即a≤-1，則f（x）=f（-）=3，解得a=-與a≤-1矛盾，舍去.

綜上所述，a=或a=-.

通過反思上述解題過程，我們可以看到如下求二次函數在一定區間上求最值（值域）的解題方法：

（1）決定二次函數在某區間上的最值問題的主要條件是二次函數圖像的開口方向、對稱軸及所指定的區間；

（2）其中二次函數圖像的開口方向由二次函數二次項系數的符號確定；

（3）所給定區間與對稱軸的相對位置關系的討論是解決這類問題的關鍵.

先在數軸上畫出指定區間，整個數軸被這個區間分成了幾部分，那么對稱軸就有幾個可能.

（二）對解題結果反思，對題目追本溯源

數學的題目無數，但數學題目的類型卻是有限的，如果對題目追本溯源，對解題結果進行反思，找出題目所對應的知識點，把錯誤歸結到知識點，就能夠對這種類型的題目真正掌握.

例2：（1）必修一P55第十一題

對于任意的x，x∈R，若函數f（x）=2，試比較[f（x）+f（x）]/2與f（）的大小關系.

（2）必修一P71第十二題

對于任意的x，x∈（0，+∞），若函數f（x）=lgx，試比較[f（x）+f（x）]/2與f（）的大小關系.

這里給出例2（1）的解法：

解：[f（x）+f（x）]/2=（2+2）/2

∵2>0，2>0，∴2+2≥2=2=2，

∴（2+2）/2≥即[f（x）+f（x）]/2≥f（）.

兩道題目雖然在不同的章節出現，但題目本質都是靈活應用基本不等式.分別在指數和對數函數中融入基本不等式，如果對題目的結果加以比較，真正掌握基本不等式這個知識點，那么此種類型的題目稍做改變，必能夠舉一反三，真正達到做題的效果.可見對題目反思何等重要.

（三）對解題方法反思，實現一題多解

對于一道題目，假如我們分析它們的不同角度，可能會得到不同的思考，從而想出不同的解題方法.因此，在解完一道題目之后，我們應當認真反思此題還有沒有其他解決方法.通過探求新的方法，可以向不同的層次、不同的方向延伸學生的思維觸角，可以由此找到最合適的解題方法，也拓寬了思維的途徑.

例3：已知a、b、m為正實數，且a.

證明：要證明>成立，只要證明（a+m）b>（b+m）a成立，即ab+mb>ab+am，即mb>am.

因為a0，所以mb>am顯然成立.

故原不等式得證.

我們回過頭來看這道題的解題過程，發現還可以用下面這些方法解決：①綜合法，②放縮法，③作差法，④作商法，⑤反證法，⑥函數單調性（設函數f（x）==1+，利用f（x）在[-b，+∞）上是增函數的定義來證明），⑦換元法

對于上述提供的方法，這里不一一加以證明.

二、反思

解題之后的多重反思，不僅有利于深入、全面地理解和掌握數學解題規律，而且有利于培養和提高學生的創新思維能力，還能使學生在解題訓練中以一當十，擺脫“題海”，使復習效率倍增.