“數列的函數性質”一節教學內容的延伸和拓展

陳允安

摘 要： 隨著新一輪課程改革的深入，高中數學知識點在實際中的應用，在不同知識模塊間的滲透應用隨處可見.所以數列作為一類特殊的函數，函數性質在數列中的考查有著一一體現.由于本節知識點較多，教材僅是將主要內容進行概括說明，而數列的函數性質是學生第一次接觸，在講解過程中教師有必要延伸和拓展才能取得較好的教學效果.

關鍵詞： 數列 函數性質 教學內容 教學效果

“數列”一節是蘇教版高中教材必修五第二章第一節的內容，教材內容安排的順序是：數列的定義；數列的通項公式；數列的表示；數列的函數性質.數列的定義和通項公式是本節的重點，數列的函數性質是本節的難點，教材首先從日常生活中常見的一些數的問題抽象出數列的定義，然后通過對數列定義的理解比較數列與函數之間的關系.所以數列和函數之間有著彼此相互利用的關系.隨著新一輪課程改革的深入，高中數學知識點在實際中的應用，在不同知識模塊間的滲透應用隨處可見.所以數列作為一類特殊的函數，函數性質在數列中的考查有著一一體現.由于本節知識點較多，教材僅是將主要內容進行概括說明，而數列的函數性質是學生第一次接觸，在講解過程中，教師有必要進行延伸和拓展才能取得較好的教學效果.下面就將我在教學“數列的函數性質”一節教學內容時延伸和拓展的內容總結如下.

1.數列與函數的關系

1.1相同點

在數列{a■}中，對于每一個正整數n（或n∈{1，2，…，k}），都有一個數a■與之對應，因此數列可以看成以正整數N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）為定義域的函數a■=f（n），當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數值y=f（x）.反過來，對于函數，如果f（i）（i=1，2，3，…）有意義，那么我們可以得到一個數列：f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

1.2不同點

數列可以看成是一個定義域為正整數N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）的函數按自變量從小到大依次取值，即數列是一種特殊的函數，定義域有限制，所以在用函數性質解決數列問題時尤其要注意.

1.3例題講解

例1.數列{-2n■+29n+3}中最大項的值為？搖 ？搖.

解析：錯解：由已知得a■=2n■+29n+3=-2（n-■）■+108■，所以數列{-2n■+29n+3}中最大項的值為108■.

錯解分析：數列是一種特殊的函數，定義域是正整數集，n取不到■，所以最大項也不能為108■.這一個約束條件很容易被忽略.

正解：a■=-2n■+29n+3=-2（n-■）■+108■，∵n∈N■，∴當n=7時，a■有最大值為108.∴數列{-2n■+29n+3}中最大項的值為108.

2.數列的通項公式

2.1知識鏈接

在數列{a■}中，如果數列{a■}的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式a■=f（n）表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式.從函數的觀點看，數列的通項公式實際上是一個以正整數N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）為定義域的函數的解析式.

2.2例題講解

例2.在數列{a■}中，a■=2，a■=66，通項公式是項數n的一次函數.

（1）求數列{a■}的通項公式；

（2）88是否為數列{a■}中的項.

解析：（1）設a■=an+b，由題意得：2=a+b66=17a+b，解得：a=4b=-2，∴a■=4n-2.

（2）令4n-2=88，解得n=■？埸N■，所以88不是數列{a■}中的項.

2.3延伸理由

教師的教學應該遵循學生的認知規律，雖然我們知道數列的通項公式實際上就是數列的解析式，但是由于學生剛剛開始學習數列，對這一點的認識肯定不是十分清楚.但由于學生已經熟練掌握了函數的概念和解析式的內容，因此如果能帶領或引導學生從函數解析式的角度理解數列的通項公式，學生肯定能進一步認識清楚數列通項公式與n之間的關系，達到事半功倍的教學效果.

3.數列的圖像

3.1知識鏈接

由于數列可以看成是一個定義域為正整數N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）的特殊函數，因此數列的圖像是相應的曲線（或直線）上橫坐標為正整數的一群孤立的點.數列用圖像表示時，可以以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標，描點畫圖表示一個數列.在畫圖時，為了方便起見，在平面直角坐標系中，兩條坐標軸上取的單位長度可以不同.

3.2例題講解

例3.數列{a■}：1，1，3，3，5，5，7，7…

（1）寫出它的一個通項公式；

（2）若把其中的偶數項去掉，求余下的數按原來的順序組成的新數列的通項公式.

（3）作出（2）中新數列的圖像.

解析：（1）a■=n（n為奇數）n-1（n為偶數）或a■=n-■（n∈N■）

（2）a■=2n-1.

（3）{a■}的圖像如右圖所示：

3.3延伸理由

《新課標》指出：“要讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程?！闭n堂上，教師如果能帶領學生一起作某一個數列的圖像，當學生發現到黑板上所作出來的數列的圖像是一群孤立的點的時候，可以更直觀地讓學生發現到數列確實是一個函數，但它是一個特殊的函數，即n的取值的特殊性.這正好和前面所講到的數列通項公式中n的特殊性呼應起來，這種教學效果估計是任何語言都替代不了的.

4.數列的單調性

4.1知識鏈接

數列作為一種特殊的函數，同樣具備函數的單調性性質.對于數列{a■}來說：①若a■a■（n∈N■），則稱{a■}為遞減數列；③若a■與a■的大小關系不定，交替變化，則稱數列{a■}為擺動數列；④若a■=a■，則稱數列{a■}為常數列.判斷函數單調性的方法同樣適用于數列.

4.2例題講解

例4.已知函數f（x）=2■-2■，數列{a■}滿足f（log■a■）=-2n.

（1）求數列{a■}的通項公式；

（2）證明數列{a■}是遞減數列.

解析：（1）由已知條件有2■-2■=-2n，所以a■-■=-2n，即a■■+2na■-1=0，所以a■=-n±■，因為a■>0，所以a■=-n+■.

（2）由于a■>0，要比較a■與{a■}的大小，可以作差也可以作商.

因為■=■=■<1，所以a■

4.3延伸理由

教學不僅是一個實踐過程，還是一個心理過程.古人云：“不憤不啟，不悱不發.”我們不讓學生思考，學生就不會有“憤”和“悱”的沖動.既然教師在課堂上反復地提到數列其實就是一種特殊的函數，但是拿什么東西讓學生相信這一點呢？我想當學生從上面的例子中體會到也可以用函數的單調性的知識處理數列的單調性時，那么就會對學生理解數列的函數性質起到錦上添花的作用.

5.數列的最值

5.1知識鏈接

數列是一種特殊的函數，由于函數可以通過解析式求函數的最值，因此數列也可以由通項公式確定數列中的最大（?。╉?研究數列的最值問題有兩種途徑：一是數列是特殊的函數，可以沿用函數求最值的方法，但是要注意使{a■}取最值的n值必須是正整數，二是有的時候數列并不一定有最大（?。╉?

5.2例題講解

例5.已知數列{a■}的通項公式a■=（n+1）（■）■（n∈N■），試問數列{a■}有沒有最大項？若有，求最大項的項數；若沒有，說明理由.

解析：∵a■-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■，

∴當n<9時，a■-a■>0，即a■>a■；

當n=9時，a■-a■=0，即a■=a■；

當n>9時，a■-a■<0，即a■

故a■a■>a■>…，所以數列中最大的項為第9、10兩項.

5.3延伸理由

新課程下課堂教學的一個重要變革就是要把傳統教學的“一維目標”（知識與技能）轉變為“三維目標”（知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀）.而關注學生的全面發展，就必須要強調數學教學活動中三維目標的整體實現.所以在這個知識點上，教師如果能夠引導學生探索掌握如何根據函數求最大值的方法去類比求數列中最大項的求法，這樣學生就可能經歷如下思維過程：“提出問題”—“分析問題”—“經歷失敗”—“汲取信息”—“解決問題”.

用教材教，還是教教材，是彰顯一名教師教育觀念和教育行為是否與時俱進、是否具有高水平實施新課程能力的主要標志.當然，需要注意的是，本部分內容延伸和拓展的素材和題目比較多，有的地方也較難，教師應該如何把握呢？我想首先要立足于學生的實際——學生的接受能力、理解能力及學習能力.特別提醒的是不能讓延伸和拓展的內容沖淡了本節課的主題，否則教學目標則被沖淡，整個教學計劃就有可能落空，教學效果也不會好.