將數學建模思想融入高數課堂的案例分析

史鵬軍

摘 要： 高等職業教育強調數學知識的應用性，數學建模是數學理論聯系實際的橋梁，以除雪機除雪問題為例，以數學建模思想方法為指導，應用高等數學知識分析解答應用實例，不僅能大大激發學生學習數學的興趣，而且能提高他們應用數學知識的能力.

關鍵詞： 數學模型 教學改革 高等數學 定積分

1.引言

高職院校開設公共基礎課高等數學，強調數學知識的應用性.而采用傳統單一的“填鴨式”的理論教學方法很難達到目的.很多高數教師可能都被學生問過這樣一個問題：“學高數有什么用？”這說明通過我們的課堂教學，沒有讓學生感受到他們學到的東西能解決廣泛的實際問題.數學建模是一種數學的思考方法，是通過抽象、簡化，運用數學的語言和方法，建立數學模型，求解模型并得到結論及驗證結論是否正確、合理的全過程，是解決傳統教學活動中學生缺乏運用數學知識解決實際問題能力的有效途徑[1].本文用數學建模的思想和方法，應用所學的高數相關的知識詳細分析解答了“除雪機除雪問題”，是將數學建模思想融入高等數學教學一個案例.

2.案例分析

微積分是高數的核心內容，是解決實際問題強有力的數學工具，下面我們就嘗試用學過的定積分解決一個日常生活問題.

冬天的大雪常使公路上積起厚雪影響交通，有條10公里的公路積雪有一臺除雪機負責清掃.每當路面積雪平均厚度達到0.5m時，除雪機就開始工作.但問題是開始除雪后，大雪仍下個不停，使路面上積雪越來越厚，除雪機工作速度逐漸減慢，直到繼續工作.降雪的大小直接影響除雪機的工作速度，那么除雪機能否完成這10km路程的除雪任務，當雪下多大時除雪機無法工作[2]？

相關情況和部分數據：

（1）降雪持續下了一個小時；

（2）降雪速度隨時間變化，但下得最大時，積雪厚度的增量是每秒0.1cm；

（3）當積雪厚度達到1.5m時，除雪機將無法工作；

（4）除雪機在沒有雪路上行駛速度為10m/s.

問題分析：首先考慮與除雪機除雪有關的因素，其主要因素有：下雪的速度，積雪的厚度，除雪機工作速度及下雪持續的時間.為使問題簡化，假設（1）下雪速度保持不變；（2）除雪機工作速度與積雪厚度成反比.設置變量，記下雪速度為R（cm/s），積雪厚度為d（m），除雪機工作速度為v（m/s）.

建立模型：

（1）下雪厚度模型.在下雪速度保持不變的情況下，積雪在t秒內厚度增量△d=■Rt，因此t秒內積雪厚度為：d（t）=0.5+■（2.1）

（2）除雪機工作速度模型.由問題的假設，并注意到當d=0時，v=10；d=1.5時，v=0，可建立關系式v（t）=10（1-■d（t）），0.5≤d（t）≤1.5，將（2.1）式帶入得t秒時除雪機工作速度公式v（t）=■（2-■）（2.2）

利用上述公式，可確定除雪機被迫停止工作的時間，由v（t）=0，得t■=■（2.3）

除雪機工作t秒時的行駛距離S（t）=？蘩■■v（u）du=■？蘩■■（2-■）du=■t-■t■（2.4）

情形1：大雪以每秒0.1cm的速度持續1h.

積雪新增的厚度是■=3.6（m），再加上原來雪深0.5m，已經超過1.5m.只能考慮除雪機從雪厚0.5m到雪厚1.5m時的工作時間和除雪距離.由（2.3）可得：t■=■=■=1000（s）≈16.67（min），即除雪機只能工作16.67min就得停止工作，其行駛的距離由（2.4）得：S（t■）=S（1000）=■-■≈3.3（km）.

情形2：大雪以每秒0.025cm的速度持續1h.

圖1 下雪速度速度變化圖

積雪新增的厚度恰好是情形1的■，為0.9m，再加上原來雪深0.5m，雪深不超過1.5m，除雪機始終可以工作.除雪機除雪10km所需時間，將S=10×1000m帶入（2.4）得：10000=■t-■t■，t=2000（s）≈33.33（min），即只雪33.33（min）除雪機就可以清除完10km的積雪.

模型改進：上述模型假設下雪速度保持不變，實際上，持續下1h雪，下雪的速度不可能恒定不變.現從實際出發把假設做得更合理些.假設下雪的速度在前30min均勻增大到最大值0.1cm/s，在后30min逐漸減小到零.如圖1所示.

用r（t）表示t時刻的下雪速度，則

r（t）=■？搖？搖0≤t≤1800a-■？搖？搖1800≤t≤3600（2.5）

r（t）的單位為cm/s.利用在t=1800處r（t）的連續性，可知參數a=0.2.

積雪厚度函數：當0≤t≤1800時，d（t）=0.5+■？蘩■■■du=0.5+■t■（2.6）

計算得d（1800）=0.5■=0.5+0.9=1.4（m），即除雪機工作30min時，積雪厚度達到1.4m.當1800≤t≤3600時，d（t）=1.4+■？蘩■■（0.2-■）du=0.01（0.2t-■t■）-1.3（2.7）

計算得d（3600）=0.01（0.2×3600-■-1.3=2.3（m），說明雪還在下時除雪機已經停止工作.工作時間利用（2.7），取d（t）=1.5m可得t≈35（min）.

若考慮更復雜些，則還可以建立與實際更接近的數學模型.

3.結語

高職院校學生的數學基礎相對較弱，學習高數有些吃力，利用傳統的教學方法給他們“滿堂灌”抽象的理論知識只會使他們對這門課望而生畏.在教學過程中引進數學模型，滲透數學建模的思想和方法，不僅能大大激發學生學習數學的興趣，而且能提高他們應用數學的能力，還能夠提升教師的教學水平，完善現有的教學方法，從而有效提高高等數學的教學質量.

參考文獻：

[1]葉其孝.把數學建模、數學實驗的思想和方法融入高等數學課的教學中去[J].工程數學學報，2003（8）.

[2]蔡鎖章.數學建模[M].中國林業出版社，2003.