民族預(yù)科數(shù)學(xué)“兩個重要極限公式”的教學(xué)探索

謝振中

摘 要： 根據(jù)民族預(yù)科數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容及預(yù)科學(xué)生的基本特點(diǎn)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等實際情況，就兩個重要極限教學(xué)方法進(jìn)行了有益的探索，把教學(xué)重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對公式的剖析和運(yùn)用上，并通過典型例題加以訓(xùn)練，取得了較好的課堂教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞： 兩個重要極限 教學(xué)方法 教學(xué)探索

1.問題的提出

極限理論是微積分學(xué)的重要內(nèi)容之一，貫穿于微積分學(xué)的始終，而兩個重要極限公式在極限理論中是十分重要的，它是求其他函數(shù)極限問題的有效工具.傳統(tǒng)的教法是教師在課堂上提出兩個重要極限公式并給予證明，之后再通過一些例題對兩公式進(jìn)行簡單說明，最后通過習(xí)題加以鞏固.這種教學(xué)方法，學(xué)生在初學(xué)時往往抓不住公式的本質(zhì)，特別是預(yù)科學(xué)生基礎(chǔ)較差，對極限公式的理論性、形式性和應(yīng)用性把握不準(zhǔn)，理解不透徹，因此學(xué)生在運(yùn)用公式時機(jī)械地生搬硬套，而對于一些較復(fù)雜的極限就束手無策，教學(xué)效果欠佳.為了改變這種局面，根據(jù)民族預(yù)科數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容及預(yù)科學(xué)生的基本特點(diǎn)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等實際情況，我們就兩個重要極限教學(xué)方法進(jìn)行了有益的探索，把教學(xué)重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對公式的剖析和運(yùn)用上，并通過典型例題加以訓(xùn)練，取得了良好的課堂教學(xué)效果.

2.具體實施過程

我們將本校預(yù)科2014級1、2、3、4班學(xué)生分兩組，每組一個實驗班和一個傳統(tǒng)班，分別采用新教法和傳統(tǒng)教法，進(jìn)行重要極限公式教學(xué)方法的比較實驗，并進(jìn)行統(tǒng)計分析.

1.1兩個重要極限公式

=1，（1+）=e，其證明過程略.

1.2兩個重要極限公式的剖析

（1）=1（=1）

讓學(xué)生先觀察思考：

，，

在思考過程中提示學(xué)生換元，分別令t=2x，π-x，都化為=1

剖析：①函數(shù)（x→0）是型未定式；

②函數(shù)是一個分式，分子sin后的變量與分母是完全一樣的；

③函數(shù)中，變量的x單位是弧度；

④式子中x的變化范圍不局限于x→0，只要f（x）→0時是型未定式即可.

然后得出一般情況：=1，使學(xué)生對公式=1有較深的理解.

例如=1，=1.

（2）（1+）=e或（1+y）=e

它們是等價的，只要令y=，當(dāng)x→∞時，y→0.

讓學(xué)生思考：（1+），（4+x）

提示學(xué)生可通過換元：

分別令t=，x+3將它們轉(zhuǎn)化為（1+）=e及（1+t）=e處理.

剖析：①函數(shù)（1+）是冪指函數(shù)，當(dāng)x→∞時，（1+）是1型未定式；

②函數(shù)（1+）的指數(shù)是無窮大量；

③函數(shù)（1+）是兩項的和，其中一項是1，另一項是無窮小量且是括號外指數(shù)的倒數(shù)；

④式子（1+）中的x的變化范圍不局限于x→∞，只要f（x）是無窮大量.或在式子（1+f（x））中x的變化范圍不局限于x→0，只要f（x）是無窮小量即可.

然后得出一般情況：（1+f（x））=e，其中f（x）當(dāng)x→a時為無窮小量.

例如（1+）=e，（1-）=（（1+））=e.

當(dāng)x→0時（1+5x）→e.

1.3兩個重要極限公式運(yùn)用舉例

例1：

解：==-=-=-1

例2：

解：===··x=1·1·x=0

例3：x·sin

解：x·sin=·2=1·2=2

例4：（）

解：（）=（1+）=[（1+）]=[（1+）]

=e=e

例5：（1+sin2x）

解：（1+sin2x）=[（1+sin2x）]=e=e

1.4思考題目

下列極限可否用兩個重要極限公式極限計算，并說明理由.

（1）（x-2），（2），（3）（m，n為整數(shù)）

3.實驗結(jié)果及分析

為了檢驗新方法的教學(xué)效果，我們對兩種方法的兩組四個班級的小考成績加以比較，對測試成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，結(jié)果見表1.

表1 不同教學(xué)方法的比較

從表1可以看出，通過實施兩種教法，其教學(xué)效果存在顯著差異.

產(chǎn)生這種顯著差異的原因是傳統(tǒng)班學(xué)生對重要極限公式理解得不透徹，沒有把握公式的特點(diǎn)和本質(zhì)，只會對一些簡單的極限機(jī)械地運(yùn)用公式，對于較復(fù)雜的極限就顯得無能為力，從而教與學(xué)的效果都不佳，而實驗班學(xué)生能夠理解公式的本質(zhì)內(nèi)在特征，能夠從本質(zhì)特點(diǎn)出發(fā)，不管是簡單的還是復(fù)雜的極限運(yùn)用公式時都運(yùn)用自如，教學(xué)效果很好.

參考文獻(xiàn)：

[1]呂忠田.重要極限公式教學(xué)札記[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009（5）：56-58.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（上）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]四川大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第一冊）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[4]黃永彪，楊社平.微積分基礎(chǔ)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2012.

基金項目：湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項目（湘教通（2015）291號）