幾何教學中的應用問題

■文/羅 超

縱觀近幾年全國各省市中考（競賽）數學試題，不難發現有下面幾個顯著的特點。

1.注重考查學生運用所學幾何知識分析問題、解決問題的能力，考查形式趨于展現學生的思維過程，要求學生按照一定的數學思想方法揭示和總結歸納內在的規律。

2.注重開放探究，引導發現創新，各地試卷中開放型和探索型題目大量涌現。這類題目是在給定條件下探索結論的多樣性，考查學生的發散思維和所學基本知識的應用能力。

3.注重理論聯系實際，突出“應用數學”意識的考查。

例1：某人晚上6點多鐘離家外出，時針與分針的夾角是110°，回家時發現時間還未到7點，且時針與分針的夾角仍為110°，請你推算此人外出了多長時間？

分析與講解：若把鐘表盤分成12個格子，每個格子形成30°角，則有時針每走1小時轉過30°角，分針每走1分鐘轉過6°角。

設此人外出的時間是6點x分，回家的時間為6點y分，據題意得：

答：此人外出的時間為40分鐘。

這道題目涉及到的是生活中的物品鐘表，學生非常熟悉，在一聲聲“嘀嗒”聲中，時針與分針始終會有夾角，但在不到一小時的時間內，時針與分針兩次出現相同的夾角110°，孩子們會很好奇，甚至有些質疑，這個時候，我們老師應引導他們建立圖象模型，早些時，即外出時，時針在前，分針在后，如圖1；而晚些時，分針在前，時針在后，如圖2。

這樣對照模型，建立兩個含110°的方程就順理成章了。

例2：中國科技館在重新裝修后，準備在大廳的主樓梯上鋪設某種紅色地毯。已知這種地毯每平方米售價30元，主樓梯道寬2米，其側面如圖所示，則購買地毯至少需要______元。

分析與講解：由題圖知主樓梯鋪地毯的面積至少需要（5.8+2.6）×2=16.8m2，按地毯售價每平方米30元計算，購買地毯至少需要504元。

回顧與反思：樓梯各階的高的和等于2.6米，各階的長的和等于5.8米，知道這一點需要有一定的分析和觀察能力。我們可以引導學生分析：欲求地毯的總價，在單價已知的條件下，就只需求得地毯的面積，而欲求地毯面積，就必須知道地毯的形狀，所以先讓同學們猜想地毯的形狀（矩形）。然后想象自己面前就是一個樓梯，拿著地毯在鋪時，地毯的寬鋪在樓梯的什么位置？地毯的長又鋪在哪里？其數據又是多少？這樣引導，相信學生會自然而然理解的。

這是一道很貼近實際生活的好題，這類試題有利于激發學生對生活中的數學現象的好奇心，培養他們的學習興趣。

例3：平面上有十條直線，無任何三條交于一點，要使它們出現31個交點，怎樣安排才能達到？

分析與講解：平面上有十條直線，若兩兩相交，最多可出現個交點，若按題目要求只出現31個交點，就要減少14個交點，通常有兩種途徑：①多線共點，這不符合題設條件；②出現平行線，是可行的。

根據第二個途徑，若在某一方向上有五條直線互相平行，則可減少10個交點；若有六條直線互相平行，則要減少15個交點。故在這各方向上最多可取五條平行線，這時還有4個交點要減去，轉一個方面取三條平行線，即可減少3個交點，這時還剩下了三條直線和一個需要減去的點，只須讓這兩條直線在第三個方向上互相平行即可。

如圖，這三組平行線即為所求。

這類應用性的、開放性的題目，在近幾年的中考中屢見不鮮，要想做好這類試題，我認為應從教材入手，反復推敲教材中的例題、習題，對他們進行一題多解和一題多變的變式訓練，引導學生利用自己已有的知識和經驗，主動探索知識的發生和發展，增強學生的應變能力，提高其數學素養，面對著一雙雙求知的眼神，我們任重而道遠！