關注知識縱向聯(lián)系 提升數(shù)學教學內涵

葉茂恒+章勤瓊

【摘 要】針對當前初中數(shù)學課堂教學中忽視知識縱向聯(lián)系的現(xiàn)象，結合具體案例，從“引發(fā)教與學”“拓寬課堂教學”以及“深化數(shù)學學習”三方面提出如何在課堂教學中運用縱向知識聯(lián)系構建“數(shù)學味”課堂，以期引起教師關注以數(shù)學知識與思想方法為核心元素的課堂教學。

【關鍵詞】初中數(shù)學;縱向聯(lián)系;引發(fā)教與學;拓寬課堂;深化學習

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）26-0011-04

【作者簡介】1.葉茂恒，浙江省溫州市第十七中學（浙江溫州，325000）教師，中學高級教師;2.章勤瓊，溫州大學數(shù)學與信息科學學院（浙江溫州，325035）教育學博士，南京師范大學教育科學學院博士后。

新課改以來，一方面由于教材的改編，數(shù)學學習呈螺旋式上升設計，教材的各章節(jié)之間似乎缺少了直接的聯(lián)系銜接，而部分教師的教學計劃缺少整體性，沒有課程設計，導致數(shù)學知識前后之間失聯(lián);另一方面，新課改倡導情境教學，由于部分教師對情境教學的理解偏差，以至于教學中過于強調生活情境的設計，個別數(shù)學課堂“去數(shù)學化”現(xiàn)象嚴重。事實上，數(shù)學教學在注重與生活實際相聯(lián)系的同時，不應該離開數(shù)學本質，更應當重視數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展，加強知識的縱向聯(lián)系。具體而言，初中數(shù)學課堂教學中知識的縱向聯(lián)系的運用可以從“引發(fā)教與學”“拓寬課堂教學”以及“深化數(shù)學學習”這三個方面展開，引導學生發(fā)現(xiàn)、總結、歸納數(shù)學知識的內在聯(lián)系，從而讓數(shù)學學習變得更豐富，更有內涵。

一、引發(fā)“教”與“學”

數(shù)學知識的發(fā)展，一般有兩種方式：縱向數(shù)學化和橫向數(shù)學化。除了來自于實際問題的抽象、建模等方式形成的數(shù)學知識外，相當一部分數(shù)學知識的發(fā)展是基于數(shù)學內部的邏輯演進的。隨著課改的推進，數(shù)學教學漸漸開始關注數(shù)學的本源，認識到數(shù)學內部情境的價值與意義，關注數(shù)學知識之間的聯(lián)系點，有些知識的教學，以數(shù)學知識之間的聯(lián)系為契機的導入更加有“數(shù)學味”，更為突出數(shù)學本質，更為符合學生的認知規(guī)律及數(shù)學的發(fā)展規(guī)律。

（一）正向推演。

數(shù)學知識的形成往往建立在以往的數(shù)學知識基礎之上，如平方差公式、完全平方公式的形成，來自于多項式的乘法法則的學習基礎之上，是整式乘法演化的結果。因此在平方差的教學過程中，不一定要等積變形導入。事實上，在教學中許多學生對這節(jié)課為什么要用等積變形引出，是如何想到構造兩個面積相等的圖形來說明平方差公式的，很是迷茫，有種被教師牽著鼻子走的感覺。因此，對于平方差公式的教學不妨基于上節(jié)課的整式乘法應用導入，在上一節(jié)課的基礎之上進一步推演數(shù)學公式或法則，善用學生已有的數(shù)學知識。如在平方差公式導入時，可以提供幾個形如“（a+b）（a-b）”的算式先讓學生應用整式乘法法則運算，然后引導學生思考這些運算式與結果的共性特征，以及這種特征是什么原因形成的，師生共同發(fā)現(xiàn)并歸納出平方差公式，并結合圖形驗證。這種設計似乎“平淡無奇”，然而正是因為符合數(shù)學知識的形成規(guī)律，才會顯得自然，課堂教學的目的不是為了讓聽課教師耳目一新，而是應順應學生的認知發(fā)展的規(guī)律。

（二）逆向回溯。

很多數(shù)學規(guī)律可以通過逆向分析，從而發(fā)現(xiàn)新的結論，對已有命題進行逆命題分析就是很好的數(shù)學再創(chuàng)造的方法。許多性質或判定定理都存在逆定理，如勾股定理、平行四邊形性質定理等等，這種前后知識之間的互逆關系常是直接明了而又高效的課堂導入的依據(jù)。如在引入因式分解的教學時，先呈現(xiàn)兩個問題：

（1）若a=1999，b=2001，請直接代入并計算下列各式的值。

①a（a+1）= ;②（a+b）（a-b）= ;③（a+1）2= 。

（2）若a=1999，b=2001，請直接代入并計算下列各式的值。

①a2+a= ;②a2-b2= ;③a2+2a+1= 。

然后思考這兩問中計算結果有何聯(lián)系，運算式有何聯(lián)系，還可以進一步引導體會學習因式分解的必要性及其與整式乘法之間的內在聯(lián)系。在整式乘法的基礎之上逆向回溯，對于剛學過整式乘法的學生而言可謂水到渠成，同時也培養(yǎng)了學生的逆向思維能力，這種能力是學生發(fā)現(xiàn)問題的主要方法之一。

（三）類比生成。

一些數(shù)學知識之間存在類似性，如數(shù)的運算與代數(shù)式的運算之間存在很多類似性質，如分配律在數(shù)運算與在代數(shù)式的運算上具有一致性，此類性質的教學可以類比生成。如分式的加減運算就可以由分數(shù)的加減運算類比而來。

如在分式的運算第一課時的深入教學時，可以呈現(xiàn)幾組同分母分數(shù)的運算式，并回顧同分母分數(shù)相加減法則，再將原分數(shù)中的字母換成含字母的整式，經過類比，學生不難發(fā)現(xiàn)同分母分式相加減的法則。

（四）對比差異。

一些數(shù)學知識之間具有一定的從屬關系，如矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四邊形，是平行四邊形的特殊化圖形，其學習可以建立在平行四邊形的學習基礎之上。學生有了平行四邊形的研究經驗，可以類似于平行四邊形從角、邊、對角線、對稱性、性質、判定等方面去研究這些特殊圖形，結合特殊化的條件，經過對比研究，去發(fā)現(xiàn)特殊性質。如正方形一課的學習，就可以在矩形與菱形的學習基礎之上進行對比差異研究。可先引導學生回顧已學過的特殊平行四邊形，引導學生思考有沒有比矩形與菱形更為特殊的四邊形，結合矩形與菱形的定義，引導學生對正方形下定義，然后結合已有的矩形與菱形的研究方法，從角、邊、對角線、對稱性等方面比較平行四邊形、矩形、菱形與正方形的性質與判定之間的異同點，最后完成圖1，實現(xiàn)正方形的判定方法的整理。

圖1

二、拓寬課堂教學

（一）梳理數(shù)學知識的不同形態(tài)下的聯(lián)系，感悟數(shù)學知識的統(tǒng)一性。

初中數(shù)學的很多相關概念分散在不同章節(jié)之中，或者教材之中只是出現(xiàn)某種特殊圖形的概念，還有一些相關的類似概念沒在教材中出現(xiàn)，在教學中可以通過梳理，一方面拓展學生數(shù)學學習的視野，另一方面使得數(shù)學知識結構更為統(tǒng)一協(xié)調。以中位線為例，三角形中位線與梯形的中位線有著不同的形式與特有的性質，但同時它們也存在關聯(lián)性，為了拓展課堂教學，不妨將平行四邊形的中位線定義為取對邊中線的連線段，這樣中位線就有了圖2中的幾種形式。

在教學中，可以利用幾何畫板的動態(tài)演示，將三角形、梯形、平行四邊形、X形圖的中位線通過動態(tài)展示它們之間的相互聯(lián)系，感受它們在不同圖形中的統(tǒng)一結論：中位線EF=，其中三角形可以看成上底AD為0，而平行四邊形則是上下底相等，X形從AD變?yōu)镈A，此外，還可結合數(shù)軸解釋從正到負的變化。

圖2

（二）整理不同知識之間的內在聯(lián)系，感悟數(shù)學知識的整體性。

同一領域內的數(shù)學知識在教材中的分布可能是分散的，但本質上又存在聯(lián)系。在螺旋式的學習進程中，應當引導學生發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，在教學設計時教師就應當關注它們之間的聯(lián)系，如方程、不等式及函數(shù)之間的聯(lián)系，它們都是基于代數(shù)式，在代數(shù)式的教學中教師就應當整體把握方程設計。當代數(shù)式值取某一常數(shù)時，即得方程;取一范圍之值時，即有不等式;代數(shù)式字母值變化時，值也隨之變化，即有函數(shù)的思想在其中。在學習代數(shù)式的值時，可以通過問題設計，引導學生感悟這種內在聯(lián)系，體會數(shù)學知識不是孤立的，而是整體連續(xù)的。

有了此種整體觀的學生，今后在學習二次函數(shù)等其他函數(shù)時，將會站得更高，以更全面的角度看待函數(shù)及方程、不等式之間的關系，而這種關系也為學生將來高中的二次不等式的學習埋下伏筆。

（三）聯(lián)合運用數(shù)學知識解決生活問題，感悟數(shù)學應用的綜合性。

數(shù)學知識的關聯(lián)不只是在一個主題概念中產生，也不只是在一個領域內有些聯(lián)系，事實上，不同領域或不同學科之間都存在聯(lián)系。其中綜合實踐活動是將不同數(shù)學知識之間聯(lián)系起來的一座橋梁，在教學過程中，可以通過相關的課題學習或活動設計引導學生綜合應用數(shù)學知識于生活之中，一方面感受數(shù)學的應用價值，另一方面加深對數(shù)學知識的認識。隨著對綜合實踐活動認識的提高，綜合數(shù)學知識應用的問題也豐富起來。如在學習了統(tǒng)計、三角函數(shù)、代數(shù)式等知識后，可引導學生開展如下形式的綜合性教學活動。

1.問題呈現(xiàn)。

如圖，A、B、C是三個垃圾存放點，點B、C分別位于點A的正北和正東方向，AC=100米，某實踐活動小組四人分別測得∠C的度數(shù)如表1。

表1 活動小組測得∠C的數(shù)據(jù)

他們又調查了各點的垃圾量，并繪制了下列尚不完整的統(tǒng)計圖，分別如圖3、圖4、圖5。

圖3：垃圾存放點 圖4：垃圾量統(tǒng)計一

圖5：垃圾量統(tǒng)計二

現(xiàn)要將A處的垃圾沿道路AB都運到B處，已知運送1千克垃圾每米的費用為0.005元，求運垃圾所需的費用。

2.思考。

（1）在問題解決過程中，你用到哪些數(shù)學知識？

（2）為什么∠C的測量各不相同，你如何處理不同的測量結果？

（3）你覺得四人分別測量并進行后期數(shù)據(jù)處理的方式有什么現(xiàn)實意義？

3.請你與同伴組建小組，設計一個安全可靠的測量“世紀之光”的高度的方案，并完成方案實測。

問題取材于2014年河北省中考試題，通過模擬現(xiàn)實情境，創(chuàng)設一個集統(tǒng)計、測量、三角函數(shù)等多領域的數(shù)學知識綜合應用問題，通過問題的解決，不僅聯(lián)系各種數(shù)學知識，也讓學生感受到數(shù)學綜合應用的價值，為今后的社會生活提供應用數(shù)學知識的基本活動經驗，培養(yǎng)學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)。

三、深化數(shù)學學習

（一）梳理章節(jié)相關知識點，豐富基本結論。

數(shù)學學習不僅是教材內容的學習與應用，更是對數(shù)學知識的再創(chuàng)造，通過同類的數(shù)學問題尋求聯(lián)系點，重建數(shù)學基本圖形與結論，整合相關數(shù)學知識點，“創(chuàng)造”新知識。如在學習“圓”這一章內容時，垂徑定理中常會歸納出一個“弦的一半（），表示弦心距的垂線段（d），半徑（r）三者所構成的直角三角形”的基本圖形（如圖6），而圓周角與圓心角是“圓”的核心知識點，將三者聯(lián)系起來，我們可以豐富原有的基本圖形與結論。

在圖7和圖8中有∠D=∠O，圖9中有∠D=180°-∠O，三個圖中都存在sin∠D=sin∠O。應用這些結論，可以更好地解決一些數(shù)學問題。

問題呈現(xiàn)：（2012寧波）如圖10，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為 。

解：本題圖中有圓周角∠BAC=60°，弦EF，聯(lián)系基本圖形，連結OE、OF，作OH⊥EF（如圖11），可得△OEH是一個含60°角的直角三角形，于是OE∶EH=2∶■，從而有OE∶EF=1∶■，即EF=■r=■AD。當AD⊥BC時，AD有最小值為2，故線段EF長度的最小值為■。

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（二）聯(lián)系同類數(shù)學知識，豐富相關知識外延。

同類的數(shù)學知識往往具有共通性，它們之間存在豐富的內在聯(lián)系，如一次方程、二次方程的知識與解決的思想方法都存在相關聯(lián)系，有時將它們相結合會產生更豐富的數(shù)學結論。又如八年級上冊學習的一次函數(shù)圖象與八年級下冊的反比例函數(shù)圖象結合就可以產生很多有趣的結論。

如圖12，已知直線y=ax+b（a<0）與雙曲線y=■（k>0）的第一象限分支交于A、B兩點，交y軸、x軸于C、D兩點，則有：①AC=BD;②△ACE≌△BDH;③FG//CD。

同時，引導學生說明結論成立的理由，并思考：若直線y=ax+b（a<0）與雙曲線y=（k>0）的兩個分支分別交于A、B兩點，交y軸、x軸于C、D兩點，上述結論是否仍然成立？說明理由。通過類似的方式，可以通過縱向聯(lián)系不斷豐富數(shù)學知識。

（三）聯(lián)系不同領域的數(shù)學知識，豐富問題解決途徑。

不同領域之間的數(shù)學知識往往可以相互補充，尤其是幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，數(shù)形結合思想就是一個典型的體現(xiàn)，幾何問題常常用代數(shù)方法解決，代數(shù)問題也可以用幾何方法來解釋。

問題呈現(xiàn)：如圖13，兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠C=∠E=90°，BC=DE=6，AC=EF=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE⊥BC于M，DF交AC于點N，此時重疊部分（陰影）的面積是 。

幾何法解答。

如圖14，連接BN，設CN=x，結合勾股定理求得：x=，∴S==。

解析法解答。

如圖15，將原圖旋轉，便于建立直角坐標系，由幾何方法先求得點F（2，8），D（-4，0），求直線DF的解析式得：y=x+。又點N縱坐標為3，∴3=x+，解得：x=-，即CN=，∴S==。

數(shù)學知識的縱向聯(lián)系不僅是知識之間的聯(lián)系，更是數(shù)學教學與學習連續(xù)性與整體性的體現(xiàn)，已學的數(shù)學知識可以為新知奠定基礎，新知可以深化已學的知識，兩者可以相互促進。教師在課堂教學與引導學生學習中，對前后知識要關注整體性、統(tǒng)一性、綜合性。這樣才能更好地教好數(shù)學，讓學生學好數(shù)學，未來才有可能創(chuàng)新數(shù)學。

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