平面向量基本定理探討

王立軍

用向量法證明幾何問題（未知坐標）時，選用哪兩個向量作為基底較合理？

一、定理再現

如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量 ，存在一對實數，使。

二、定理的認識

平面向量基本定理是向量理論中最重要的定理，是向量得以用數量進行計算的橋梁和紐帶，是向量理論中的里程碑和標志性定理。

三、問題的提出

定理肯定了基底的存在性，并沒有指明如何選擇基底。在實際證明中，選擇基底時，如果選擇不當，可能導致證明過程過于冗長;如果選擇恰當，將會使證明過程大大縮短。那么一般情況下如何選擇恰當的基底呢？

四、選擇基底的幾條原則

1.起點重合。選擇兩個起點重合的向量作為基底，是選擇基底的大原則。這樣選擇基底，可方便表示兩個向量的和與差。

例1.的三邊長滿足，且BE、CF分別為AC、AB邊上的中線，求證：。

證明：取，為一組基底，

并設，

即

2.便于表示。所取的基底必須便于表示所求向量。一般選取起點重合，且有已知點的兩個向量作為一組基底。

例2.如圖所示，正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個三等分點，且AE、CD交于點P，求證：BPCD.

證明：取為一組基底，

則

設即

………………….（1）

又設

………………….（2）

比較（1） （2）兩式，得：

從而

=0

故：

3.聯系密切。所取的基底必須于所求向量聯系密切，這樣便于表示所求向量。

例3.如圖所示，一直線交 的三邊 所在直線分別于點R、S、T.

求證：.

證明：取為一組基底

設

則

又

即

從而：

證畢。