定期檢修多態退化可修系統的維修更換策略

毋文峰，宋建社，江克俠，李 浩，楊穎濤

（1．第二炮兵工程大學，陜西西安710025；2．武警警官學院管理科學與工程系，四川成都610213；3．武警工程大學理學院，陜西西安710086）

定期檢修多態退化可修系統的維修更換策略

毋文峰1，2，宋建社1，江克俠3，李 浩2，楊穎濤1

（1．第二炮兵工程大學，陜西西安710025；2．武警警官學院管理科學與工程系，四川成都610213；3．武警工程大學理學院，陜西西安710086）

針對帶定期檢修的多狀態退化可修系統提出了一種最優維修更換策略。假定系統部件有多個失效狀態，并在故障時依概率進入其中某個狀態，假定系統檢修“修復如舊”和故障維修“修復非新”，系統在檢修期間停止工作，檢修不影響系統壽命，系統依概率在工作狀態、定期檢修狀態和故障維修狀態時達到系統的有效年齡T，在系統更換策略為其有效年齡T的條件下，取系統經長期運行單位時間內期望效益為目標函數，利用推廣的幾何過程和更新過程理論建立了系統數學模型，并求出了系統期望效益的解析表達式，進一步利用數值法或分析法可以求出最優維修更換策略T＊。該維修更換策略及其模型對于工程實踐具有一定的指導意義和參考價值。

幾何過程；可修系統；定期檢修；多狀態系統；更換策略；期望效益

0 引 言

單部件可修系統是可靠性理論與應用領域中的一個重要研究課題，它的維修更換策略研究具有重要的理論意義和經濟價值［1］。其中，退化單部件可修系統故障修復是不能“修復如新”的，它被文獻［2］描述為一種單調幾何過程。目前，“修復非新”退化可修系統是可修系統中的一個熱門研究課題，文獻［3－9］針對“修復非新”退化可修系統進行了相關研究。若單部件退化可修系統中，假設系統有1個正常狀態和K個失效狀態，即系統為多狀態系統，則該系統稱為多態退化可修系統，文獻［10］提出了推廣的幾何過程，用以研究具有多種失效狀態的退化可修系統，其他文獻還有［11－16］。可修系統在使用和維護中，為了避免重大事故和重大損失的發生，往往還需要考慮定期檢修。定期檢修主要是為了及時排查系統是否發生故障，因此它一般可視為“修復如舊”的。文獻［17］就研究了單部件可修系統的定期檢修問題，它是取系統故障次數N為更換策略，求出了系統期望效益的解析表達式，相關文獻還有文獻［18－19］。

上述文獻中系統更換策略大多是取系統的故障次數N，并研究系統期望效益的解析表達式；然而對于軍用裝備等特殊對象系統，人們更多關心在系統壽命T一定的條件下，系統經長期運行單位時間內的期望效益是否最大。文獻［3］雖然是以系統的有效年齡T為更換策略來研究，但是它的目標函數是系統經長期運行單位時間內的平均停機時間是否最小，而且它們只是考慮了比較理想、比較簡單的退化可修系統，與實際系統相差較大。因此，針對單部件退化可修系統，作者假定定期檢修“修復如舊”和故障維修“修復非新”，考慮系統具有多種失效狀態，系統的更換策略取其有效年齡T，并取系統經長期運行單位時間內期望效益最大為目標函數，利用推廣的幾何過程和更新過程理論研究并確定了最優更換策略T＊，推導了該退化可修系統期望效益的解析表達式。

1 定 義

定義1 假設ξ，η是2個隨機變量，如果對任何實數α，有P｛ξ≥α｝＞P｛η≥α｝，則稱ξ隨機地大于η，記為ξ＞stη。如果ξ隨機地小于η，記為ξ＜stη。因此，稱一個隨機過程｛Xn，n＝1，2，…｝是隨機遞增（遞減）的，如果對所有的n＝1，2，…，滿足Xn＜st（＞st）Xn＋1。

定義2 設｛ξ（t），t≥0｝是一個計數過程，｛Xn，n＝1，2，…｝為獨立非負隨機變量序列，且Xn的分布函數為Fn（t）＝F（an－1t）（n＝1，2，…；a＞0）。若，且滿足｛ξ（t）≥n｝＝｛Tn＜t｝（t≥0，n＝1，2，…），則稱計數過程｛ξ（t），t≥0｝為一個幾何過程，并稱Tn為第n個變化時刻，Xn為第n個變化間距。若a＞1，則｛Xn，n＝1，2，…｝是隨機遞減的；若a＜1，則｛Xn，n＝1，2，…｝是隨機遞增的；若a＝1，則｛Xn，n＝1，2，…｝為更新過程。

2 基本假定

假定1 初始時（即t＝0），系統是全新的；當系統有效年齡達到T時，用新的同型部件更換系統，并且更換時間可忽略不計。

假定2 Tint為連續2次定期檢修之間時間間隔。若系統工作時間達到Tint而未發生故障，修理工立即檢修系統，并且檢修“修復如舊”；若工作時間未達到Tint而系統故障，修理工立即維修系統，并且維修是“修復非新”的；系統在檢修期間停止工作，檢修不影響系統壽命。

假定3 系統具有1個正常狀態和K個失效狀態，失效狀態分別記為1，2，…，K，系統隨機地進入其中一個失效狀態而發生故障；K個失效狀態的發生概率分別為r1，r2，…，rK，且r1＋r2＋…＋rK＝1。

假定4 系統從第n－1次故障維修結束到第n次結束之間的時間間隔為其第n個周期（n＝1，2，…），Xn表示系統第n－1次故障維修后的工作時間，Yn表示系統第n次故障后的維修時間，表示系統在第n個周期中第i次檢修時間，之間相互獨立，記系統第n次故障時刻為tn，故障狀態為Sn（Sn∈｛1，2，…，K｝，n＝1，2，…）。假設

式中，lj∈｛1，2，…，K｝（j＝1，2，…，n－1）；a1＞1，a2＞1，…，aK＞1。同樣的，假設

式中，lj∈｛1，2，…，K｝（j＝1，2，…，n）；0＜b1＜1，0＜b2＜1，…，0＜bK＜1。假設

式中，lj∈｛1，2，…，K｝（j＝1，2，…，n－1）；0＜c1＜1；0＜c2＜1，…，0＜cK＜1；i＝1，2，…，ηn，ηn為系統在第n個周期中的檢修次數。

假定5 變量Xn，Yn，Zin（n＝1，2，…）之間是相互獨立的。

假定6 系統有效年齡在工作狀態達到T的概率為p，在定期檢修狀態達到T的概率為q；在維修狀態達到T的概率為r，并且p＋q＋r＝1。

假定7 系統工作報酬率為C1，檢修費用率為C2，維修費用率為C3，系統每次更換費用為C4。

3 模型建立

根據模型假定，可以得到系統的一個可能進程圖如圖1所示。

設D（T）為該系統在上述策略T下經長期運行單位時間內期望效益，由更新報酬定理可得

圖1 系統進程圖

在討論模型之前，首先引入幾個定理。

定理1 對?t＞0，n＝1，2，…，有

定理1表明，幾何過程｛Xn，n＝1，2，…｝是隨機遞減的，而幾何過程｛Yn，n＝1，2，…｝和｛，n＝1，2，…｝是隨機遞增的。證明參見文獻［10］。

證明見文獻［10］。

文獻［17］提出了可修系統定期檢修次數的概率分布，這里，本文提出推廣幾何過程的檢修次數概率分布，它適用于處理多失效狀態的退化可修系統模型。

4.統計學處理：采用SPSS 17.0進行數據的整理和統計分析。計量資料用均數±標準差表示，2組之間皮片成活率和平均換藥次數的比較因為方差不齊，采用校正t檢驗。以P<0.05為差異有統計學意義。

定理3 設ηn為系統在第n個周期中的檢修次數，則它的概率分布為

式中，m＝0，1，2，…；n＝1，2，…，N，且

證明 根據假設以及ηn的定義

由于

且廣義積分

收斂。因此

證畢

設Zn表示系統在第n個周期中總的檢修時間，則

由定理3和條件期望的性質有

設N為系統在［0，T］內的故障次數，它是一個取非負整數的隨機變量；事件A、B、C分別表示系統處于工作狀態、定期檢修狀態、故障維修狀態時達到T。

（1）事件A

若系統處于工作狀態時達到T，則系統正處于第（N＋1）個周期中，如圖1（a）所示，設M為系統在第（N＋1）個周期中的檢修次數，Tr為系統第（N＋1）個周期的系統壽命，則

且IA＝p，I為示性函數。因此，［0，T］內的期望效益ER 為

（2）事件B

若系統處于定期檢修狀態時達到T，則系統也正處于第（N＋1）個周期中，如圖1（b）所示，同樣地，M為系統在第（N＋1）個周期中的檢修次數，Tr為系統第（N＋1）個周期的系統壽命，則

且IB＝q。因此，［0，T］內的期望效益ER為

（3）事件C

若系統處于故障維修狀態時達到T，則系統正處于第N個周期中，如圖1（c）所示，則

且IC＝r。因此，［0，T］內的期望效益ER為

因此，系統在策略T下經長期運行單位時間內的期望效益為

由于

所以

式中

Fn（T），Gn－1（T）和Qn（T）分別為的分布函數，即

由此可得系統在［0，T］內的平均工作時間為

系統在［0，T］內的平均維修時間為

系統在［0，T］內的平均檢修時間為

綜合上述各式可得

進一步，利用數值法或分析法可以求出最優維修更換策略T＊，并使得該系統經長期運行單位時間內期望效益達到最大。

由于篇幅限制，關于模型的數值仿真實例不再贅述，另篇再敘。

4 結 論

本文帶定期檢修的多狀態退化可修系統的最優更換策略比較具有普適性和實用性，它不僅考慮到了退化可修系統的客觀規律，而且還考慮到了系統有效年齡在工作時間、定期檢修時間和故障維修時間均可達到的實際，以及系統具有多個失效狀態的情況。本文提出的最優更換策略及其模型對于提高對象系統可靠性、安全性和經濟效益均具有一定的指導意義和參考價值。

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E－mail：peakxde＠163．com

宋建社（1954－），男，教授，博士，主要研究方向為系統工程、維修信息化。

E－mail：jssong＠pub．xaonline．com

江克俠（1979－），男，講師，博士，主要研究方向為系統工程、量子光學。

E－mail：jiangkexia＠163．com

李 浩（1984－），男，講師，博士研究生，主要研究方向為軍事系統建模與優化決策。

E－mail：lihao＠163．com

楊穎濤（1980－），男，講師，博士，主要研究方向為系統工程、故障診斷。

E－mail：yangyt＠163．com

Maintenance and replacement policy for a repairable multi－state system with regular preventive repairs

WU Wen－feng1，2，SONG Jian－she1，JIANG Ke－xia3，LI Hao2，YANG Ying－tao1
（1．The Second Artillery Engineering University，Xi’an 710025，China；2．Department of Management Science and Engineering，Officers College of Chinese Armed Police Force，Chengdu 610213，China；3．Department of Physics，Engineering University of Chinese Armed Police Force，Xi’an 710086，China）

To study a deteriorating repairable multi－state system with regular preventive repairs，a new maintenance and replacement policy is proposed．Assume that the component in the system has more than one failure states．The occurrence of a failure state of any one type is mutually exclusive and stochastic．The regular preventive repair is“as good as old”and the repair after the system failure is not“as good as new”．The system is not running during the period of the regular preventive repairs and the effective age of the system is not effected by the regular preventive repairs．The arrival of the effective age of the system is assumed to be mutually stochastic at the working state，the preventive repair state or the maintenance state．Under these assumptions，we consider a replacement policy Tbased on the effective age of the system．By using the generalized geometric process theory and the renewal process theory，the mathematic model is been established and the explicit expression of the long－run expected profit per unit time is derived．The optimal maintenance and replacement policy T＊can be calculated by the computer．Finally，we discuss the results of the model．This model can be used as references to the failure system maintenance and replacement．

geometric process；repairable system；preventive repair；multi－state system；replacement policy；expected profit

TB 114．3

A

10．3969／j．issn．1001－506X．2015．06．15

毋文峰（1978－），男，講師，博士，主要研究方向為系統工程、可靠性維修工程。

1001－506X（2015）06－1319－06

2014－03－14；

2014－10－03；網絡優先出版日期：2014－11－19。

網絡優先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141119．2200．004．html

國家自然科學基金（61132008）資助課題