借助函數形態作圖之淺見

張美花

（廈門華天涉外職業技術學院基礎部）

一、函數現代概念

若對集合M 的任意元素x，總有集合N 確定的元素y 與之對應，則稱在集合M 上定義一個函數，記為y=f（x）。元素x 稱為自變量，元素y 稱為因變量。

二、函數的形態

1.單調性

設函數f（x）的定義域為D，區間I 包含于D。如果對于區間上任意兩點x1及x2，當x1＜x2時，恒有f（x1＜x2），則稱函數f（x）在區間I 上是單調遞增的；如果對于區間I 上任意兩點x1及x2，當x1＜x2時，恒有f（x1＞x2），則稱函數f（x）在區間I 上是單調遞減的。單調遞增和單調遞減的函數統稱為單調函數。

2.奇偶性

設f（x）為一個實變量實值函數，若下列的方程對所有實數x都成立：f（x）=-f（-x）則f（x）為奇函數。幾何上，一個奇函數關于原點對稱。

設f（x）為一實變量實值函數，則f（x）為偶函數，若下列的方程對所有實數x 都成立：f（x）=f（-x）。幾何上，一個偶函數關于y軸對稱。

3.周期性

設函數f（x）的定義域為D。如果存在一個正數T，使得對于任意x∈D 有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數，T 稱為f（x）的周期，通常我們說周期函數的周期是指最小正周期。周期函數的定義域D 為至少一邊的無界區間，若D 為有界的，則該函數不具周期性。并非每個周期函數都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函數。

4.有界性

設I 為函數f（x）的定義域內的某一區間，若存在正數M，使得對一切x∈I，都有≤M，則稱f（x）為區間I 上有界，否則稱f（x）為區間I 上無界。

5.連續性

在數學中，連續是函數的一種屬性。直觀圖象上說，連續的函數是連綿不斷的一條線，也就是一筆可以畫完無需間斷的曲線。

函數在點x0處連續可定義：如果函數y=f（x）在x0的某一個鄰域內有定義，且，則稱函數y=f（x）在點x0連續。不用極限的概念，也可以這樣表達：對任意給定的ε＞0，總存在δ＞0，當＜δ 時有

6.凹凸性

設函數f（x）在I 上連續。如果對于I 上的兩點x1≠x2，恒有那么稱f（x）是區間I上的（嚴格）凸函數；如果恒有那么稱f（x）是區間I 上的（嚴格）凹函數。

三、函數的基本作圖方法

討論了函數的各種形態，綜合討論就可以做出函數圖象的一般步驟如下：

（1）確定函數的定義域，找出間斷點。

（2）求出曲線和坐標軸的交點。

（3）確定曲線關于坐標軸的對稱性。

（4）令一階導數等于0，求出函數的駐點，并算出各駐點的函數值。判斷函數的單調區間并求出極值。

（5）確定函數的凹向區間和拐點。

（6）求出曲線的漸近線。

（7）列出x、f′（x）、f ′′（x）、f（x）的關系圖。

（8）根據關系圖和函數的相關性質，描繪函數大致圖象。

四、實例解析

解：（1）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）。

（2）函數不具有奇偶性，因此曲線無對稱性。有助于合理的語言輸出，這是語言學習的普遍規律。先通過聽力部分引起學生對情景的了解，再通過對話，讓學生進行口語練習，語言和情景相交融，最大限度地還原語言活動的真實場景。

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