克列爾公式及關聯公式的應用與思考

云南師范大學數學學院(650500)豐魁 何月 張勇

四面體作為空間中最基本的幾何體,其體積及外接球問題一直是高頻考點之一,常作為壓軸小題出現,對學生的空間想象、邏輯推理、數學運算等能力都有較高要求.通常采用綜合幾何法或向量法求解,但在一些情況下,空間點、線、面的位置關系較難確定,此時若能輔以恰當公式解之,可大大減少思維量.

1 克列爾(A.L.Crelle)公式

對任意四面體,其體積V和外接球半徑R滿足

要證明此公式,我們先推導以下引理:

引理對任意四面體, 其體積, 其中,S1,S2為以a為公共棱的兩個面的面積,θ為這兩個面所成的二面角.

引理的證明如圖1,AH為?ACD在DC邊上的高,AE為三棱錐A-BCD的高,連接EH,則∠AHE=θ即為二面角A-DC-B的平面角,記?BDC,?ACD的面積分別為S1,S2.則,由解得.

圖1

證明設四面體的各棱長如圖2,過頂點A作外接球的切面α,過B作平面β//平面ACD,過D作平面γ//平面ABC,則平面α,β,ABC,ABD構成四面體ABD1C1,平面α,γ,ABC,ADC構成四面體ADB2C2.在平面ABC上,由于AC1在外接球的切面上,所以AC1與?ABC的外接圓(外接球與面ABC的交線) 相切, 從而∠C1AB= ∠ACB.又BC1//AC(平行平面β,ACD與平面ABC的交線平行, 所以∠ABC1= ∠BAC, 于是?ABC1//?CAB, 得.同理,又C1D1//C2A,C1A//C2B2, 所以?C1AD1//?C2B2A, 得,將?AC1D1放大倍,就得到一個邊長為aa1,bb1,cc1的三角形.

圖2

過A作外接球的直徑,設B在這直徑上的射影為B′,則由射影定理,有.由于AB′⊥切面α,所以它就是B到切面α的距離,因此,這里再由引理中的公式,可得

例1(2023 年華南師范大學附屬中學高三測試第7題) 在四面體ABCD中, 若,AD=2BC=1,則四面體外接球的表面積為( )

解如圖3,取BC,AD的中點分別為N,H, 連接AN,DN,NH, 易知BC⊥AN,BC⊥DN, 故NC,BN分別為四面體ACDN,ABDN的高, 且兩體積相等.由三角形全等知AN=DN,故NH⊥AD,由勾股定理得

圖3

評注該題中體積除了結合幾何關系由求解外, 亦可由求解, 其中∠AND即為A-BC-D的二面角,cos ∠AND易由邊長關系由余弦定理解出,也可以?BCD為底,AN·sin ∠AND作為四面體的高求解.值得一提的是,該問題原題題干中已經給出了克列爾公式,本文為了便于敘述作了適當刪減.應注意到,立體幾何與高等數學中的空間解析幾何的一些概念定理相融合,綜合考查學生信息提取、知識的靈活運用能力的信息類題型也是高考模擬熱點之一,對于此類問題,要克服畏難情緒,耐心閱讀并理解題意,聯想已學知識結合新信息解決問題.

2 二面角公式(三射線定理)

對于克列爾公式的運用,題干往往會以直接或間接的方式給出四面體的6 條棱長, 關鍵在于求四面體的體積, 例1中四面體體積相對來說容易求解,但若棱長不具備特殊關系,四面體的高和二面角往往較難確定,因此我們可以繼續推導二面角和體積更為一般的關系式.

如圖4,α和β是兩相交平面, 所交直線上有一點P,PA,PB是從P點出發的兩條射線,在兩射線上分別取H,N, 分別過H,N向兩面所交直線PC作垂線, 這里取H,N兩點滿足兩垂足相交于同一點M, 記∠APB=θ,∠APC=θ1,∠BPC=θ2,二面角A-PC-B為φ,則有.

圖4

證明因為HM⊥PC,NM⊥PC, 易得,MH=PMtanθ1,,MN=PMtanθ2,在?HPN,?HMN中,由余弦定理得

由①= ②解得cosθ= cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosφ,命題得證.

在上文圖1 中,令∠ACB=θ,∠ACD=θ1,∠BCD=θ2,BC=c,AC=b.至此任意四面體體積公式可進一步化為

該公式的各余弦值可以通過已知邊長利用余弦定理得到,結合克列爾公式使用更具一般性.當然,還可進一步往下推導,利用余弦定理解出各余弦值代入上式,就可以得到一個用6 條棱長表示的體積公式,但運算繁瑣復雜,且在初等數學中適用性不強,較為簡潔的推導涉及高等數學知識,因此本文不作說明,可參考文獻[2-3].

例2在三棱錐P-ABC中,AC=PA=PC= 3,AB= 4,BC= 5,二面角P-AC-B的平面角的大小為30?,則三棱錐P-ABC的體積為____,外接球的表面積為____.

解記∠PCB=θ,由勾股定理知AC2+AB2=BC2,故AB⊥BC, 所以, 且∠PCA= 60?, 由二面角公式可得,故,由體積公式可得

在?PCB中, 由余弦定理可得PB2=BC2+PC2-2BC·PCcosθ, 解得, 由克列爾公式得,故

評注對于上述涉及二面角和外接求半徑的模型,還有一個運算量更小且對題干已知量要求更少的公式,即在任意四面體ABCD中,若BC= 2a,二面角A-BC-D的平面角為φ,∠BAC=α,∠BDC=β,則四面體外接球的半徑

證明可參考文獻[4].

3 線面角公式

除了上述的二面角與體積密切相關,若已知線面角,則體積也容易求出,反過來,根據上述由二面角對體積公式的推導, 可以得到如下的一個線面角公式: 在上述圖1 中, 記AC與平面BCD所成角為β, 根據線面角的定義及上文敘述,即sinβ= sinθ1sinθ, 該式子通常被稱為三正弦定理, 進一步,將二面角換成上文推導出來的結果,還可以得到

例3(2023 年全國乙卷理科數學第9 題)已知?ABC為等腰直角三角形,AB為斜邊,?ABD為等邊三角形,若二面角C-AB-D為150?,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為( )

解易知∠ABD= 60?,∠CBA= 45?,設∠CBD=θ,由二面角公式可得,解得, 不妨設AC=BC=a, 則,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcosθ,解得,故

易知∠BCD= ∠ACD, 且∠ACB= 90?, 記線面角為φ,∠BCD=∠ACD=α,∠ACB=90?=β,故

評注事實上,由題干中特殊的等腰和等邊三角形,本例的二面角也容易作出,故可直接用余弦定理求出CD的長再使用線面角公式,由例1、例3 可以看出,即便在完全套用公式的情況下,適當的進行一些幾何分析,也有助于簡化運算.

4 公式應用建議

立體幾何綜合考查的是空間想象與幾何分析的能力,二級公式、定理并非是解題的“萬能藥劑”, 因此, 切忌死記硬背,生搬硬套,比如在共頂點的三條棱兩兩垂直的四面體外接球模型中,若強行套用克列爾公式,運算量極大,反而適得其反.再比如上述例3 中,若能結合線段長度關系,作出二面角,便很容易作出線面角,問題可以更為高效的解決,上述采用線面角公式并非考場上的最佳選擇.歸根結底,幾何定理、空間位置關系的基本方法和基本思想仍是解題之根,不能完全用公式的“算”替代幾何分析的“想”,當然,若能在平時解題過程中,注意到各個具體題目的共性,從特殊到一般,運用綜合幾何法或者向量法推導出上述公式, 作為輔助解題的“利器”,這不單有助于提高解題效率,還能夠使幾何直觀的素養更上一個階層.