江蘇省秦州中學附屬初級中學“認識概率”檢測題

王小翠

飛機失事會給旅客造成意外傷害，一家保險公司要為購買機票的旅客進行保險，應該向旅客收取多少保險費呢？為此，保險公司必須計算飛機失事的可能性有多大？那究竟是怎樣計算的呢？其實這時我們計算的是統計數據中飛機失事的頻率——概率的估計值。

一個隨機事件發生的可能性大小的數值稱為這個事件的概率。概率是個理論值，是由事件的本質所決定的，只能取唯一值，它能精確地反映事件出現可能性的大小。也就是說概率是事件的固有的準確值并不是我們計算出來的。

頻率是在一次試驗中某一事件出現的次數與試驗總數的比值。頻率是變化的，每次試驗可能不同，但在多次重復試驗中，頻率具有穩定性。因此在一定條件下頻率可以近似代替概率。

需要指出的是用穩定的頻率代替概率，并不否認概率能更精確、更全面地反映事件出現可能性的大小，只是由于在目前的條件下，取得概率比取得頻率更為困難。所以，我們才用穩定的頻率代替概率，以頻率的計算方法來估算概率。

下面就通過幾個題目來例舉如何運用穩定的頻率來估算概率以及在估算過程中需要注意的地方。

例.某水產試驗廠實行某種魚的人工孵化，10000個魚卵能孵出8513尾魚苗，根據概率的統計定義解答下列問題：

（1）求這種魚卵的孵化率；

（2）30000個魚卵大約能孵化多少尾魚苗？

（3）要孵出5000尾魚苗，大概得備多少魚卵？（精確到百位）

分析：此題的第一小問求孵化率其實就是用一次實驗中的孵化頻率來估算這種魚卵的孵化概率，因此只是一個近似值。因為在第一次試驗中進行了10000個魚卵的重復試驗得到的頻率符合穩定的頻率的條件，假設只是進行了10個，100個魚卵的試驗頻率來估算概率就不具有科學性。第二，三小問都是利用已經求得的孵化率估計值進行相應數據的計算，注意問題中的“大約”，“大概”字眼去體會所求數據只是近似值而并非是準確值。

例.根據概率論，拋出一枚均勻的硬幣，其正面朝上和反面朝上的概率幾乎相等。我與人打賭，若拋出硬幣正面朝上，我贏：若反面朝上，我輸。我拋出硬幣6次。結果都是反面朝上，已經連輸6次。因此，我后面的幾次拋出肯定是正面朝上，一定會贏回來。下面哪一個選項是對“我”的推理的恰當評價？

A.有道理，因為上帝是公平的，機會是均等的，他不會總倒霉。

B.沒道理。因為每一次拋出都是獨立事件，與前面的結果沒有關系。

C.后面幾次拋出果然大多正面朝上，這表明概率論是正確的。

D.這只是他個人的信念，無法進行理性的或邏輯的評價

分析：這樣的一個問題應該說是在我們的生活中經常發生的現象。正如題目所描述，正面朝上和反面朝上的概率相等，也就是“我贏”和“我輸”的可能性一樣大。但是在現實生活中往往發生了如題目中描述的連輸6次，于是往往有錯誤的認識后面肯定是“我贏”的可能性較大。這樣的錯誤的認識很典型的發生在賭徒身上他們認為只要他們繼續下去贏得可能性就比較大。那我們不禁要反問，為什么我們的概率不能反映事件發生的可能性的大小呢？因為只有在大量重復試驗中，某個事件發生的頻率才具有穩定性，這樣的穩定的頻率才能去估算概率。而在這樣一個題目中試驗次數為6次，這樣所得到的頻率顯然不具有穩定性也不能代表概率，所以從表象上違背了事件發生的概率值。

例.利用頻率來估算概率的方法來估算非規則圖形的面積，請設計方案，解決問題。

分析：此題對學生的要求較高，學生必須要能深刻理解用頻率估算概率的原理，從而設計方案來解決問題。首先我們必須設計一個隨機事件并且隨機事件發生的概率跟圖形的面積有關，例如在這非規則圖形外，畫個規則的圖形面積可以計算的記為S，包含非規則圖形，然后在這規則的圖形里扔硬幣，保證都扔在規則的圖形，扔個N次（越大越好），其中扔在非規則圖形的次數為M。下面就可以計算出硬幣落在非規則圖形的頻率M/N，而硬幣落在非規則圖形的概率為非規則圖形面積與S之比值。.根據頻率來估算概率的方法我們就可以得到這兩者相等，則非規則圖形為MS/N

通過上述三個題目的層層推進，我們要能從題目的解決中辨析頻率與概率，靈活運用穩定的頻率代替概率，深知這其中的數學的原理，從而揭開“頻率與概率“的面紗，為在生產生活中運用概率和頻率解決問題打下堅實的基礎。