例說數(shù)學(xué)思想在數(shù)據(jù)收集、整理、描述中的應(yīng)用

朱志偉

數(shù)學(xué)是一門非常重要的工具學(xué)科，有些學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，由于沒有掌握好正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，從而陷入題海，茫然不知所措.如果學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，則可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力.

一、特殊到一般的思想

例1 （2014·呼和浩特）以下問題，不適合用全面調(diào)查的是（ ）

A.旅客上飛機(jī)前的安檢

B.學(xué)校招聘教師，對(duì)應(yīng)聘人員的面試

C.了解全校學(xué)生的課外讀書時(shí)間

D.了解一批燈泡的使用壽命

【分析】由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似.

【解答】

A、旅客上飛機(jī)前的安檢，意義重大，宜用全面調(diào)查，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、學(xué)校招聘教師，對(duì)應(yīng)聘人員面試必須全面調(diào)查，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、了解全校同學(xué)課外讀書時(shí)間，數(shù)量不大，宜用全面調(diào)查，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、了解一批燈泡的使用壽，具有破壞性，工作量大，不適合全面調(diào)查，故D選項(xiàng)正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對(duì)象的特征靈活選用，一般來說，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大時(shí)，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.

例2（2014·青島）在一個(gè)有15萬人的小鎮(zhèn)，隨機(jī)調(diào)查了3000人，其中有300人看中央電視臺(tái)的早間新聞.據(jù)此，估計(jì)該鎮(zhèn)看中央電視臺(tái)早間新聞的約有（ ）

A.2.5萬人 B.2萬人 C.1.5萬人 D.1萬人

【分析】求得調(diào)查樣本的看早間新聞的百分比，然后乘以該鎮(zhèn)總?cè)藬?shù)即可.

【解答】

該鎮(zhèn)看中央電視臺(tái)早間新聞的約有

15× =1.5萬，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用樣本估計(jì)總體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求得樣本中觀看的百分比.

由特殊到一般、由一般到特殊的過程是認(rèn)識(shí)事物的基本過程，數(shù)學(xué)也不例外.抽樣調(diào)查，又稱抽樣推斷，是一種重要的、科學(xué)的非全面調(diào)查方法.它根據(jù)調(diào)查的目的和任務(wù)要求，按照隨機(jī)原則，從若干單位組成的事物總體中，抽取部分樣本單位來進(jìn)行調(diào)查、觀察，用所得到的調(diào)查標(biāo)志的數(shù)據(jù)來推斷總體.即抽樣調(diào)查是根據(jù)部分實(shí)際調(diào)查結(jié)果來推斷總體標(biāo)志總量的一種統(tǒng)計(jì)調(diào)查方法，屬于非全面調(diào)查的范疇.其中蘊(yùn)涵了重要的統(tǒng)計(jì)思想——樣本估計(jì)總體.用樣本估計(jì)總體是特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的一種形式，是本節(jié)重點(diǎn)介紹的統(tǒng)計(jì)調(diào)查方法.

二、分類討論思想

例3（蘇科版八年級(jí)下冊(cè)P10第4題）利用下面的調(diào)查問卷對(duì)全班同學(xué)的上學(xué)方式進(jìn)行調(diào)查，并整理調(diào)查結(jié)果，列出統(tǒng)計(jì)表，畫出條形統(tǒng)計(jì)圖.

【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)活動(dòng)是讓學(xué)生通過普查的方式去經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論的統(tǒng)計(jì)過程，在經(jīng)歷這個(gè)統(tǒng)計(jì)調(diào)查的過程中，感受統(tǒng)計(jì)的思想，建立統(tǒng)計(jì)的觀念，體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的作用，逐步建立用數(shù)據(jù)說話的習(xí)慣.要完成這項(xiàng)活動(dòng)，學(xué)生必須將各種情況分類討論.如果學(xué)生能理解并掌握分類討論的思想方法，在解題中進(jìn)行正確、合理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆诸悾@既有利于把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)為簡單的問題來處理，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力和發(fā)展他們思維的條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性和完整性.

三、數(shù)形結(jié)合思想

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”，這是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的高度概括.數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和數(shù)感，是使學(xué)生進(jìn)行形象思維與抽象思維互相促進(jìn)，和諧發(fā)展的主要形式；數(shù)形結(jié)合教學(xué)又有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.

例4（2014·遼寧沈陽）2014年世界杯足球賽于北京時(shí)間6月13日2時(shí)在巴西開幕，某媒體足球欄目從參加世界杯球隊(duì)中選出五支傳統(tǒng)強(qiáng)隊(duì)：意大利隊(duì)、德國隊(duì)、西班牙隊(duì)、巴西隊(duì)、阿根廷隊(duì)，對(duì)哪支球隊(duì)最有可能獲得冠軍進(jìn)行了問卷調(diào)查.為了使調(diào)查結(jié)果有效，每位被調(diào)查者只能填寫一份問卷，在問卷中必須選擇這五支球隊(duì)中的一隊(duì)作為調(diào)查結(jié)果，這樣的問卷才能成為有效問卷.從收集到的4800份有效問卷中隨機(jī)抽取部分問卷進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了統(tǒng)計(jì)圖表的一部分如下：

（2）根據(jù)以上信息，請(qǐng)直接在答題卡中補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)在提供有效問卷的這4800人中有多少人預(yù)測(cè)德國隊(duì)最有可能獲得冠軍.

【分析】（1）首先根據(jù)意大利有85人，占17%，據(jù)此即可求得總?cè)藬?shù)，則根據(jù)百分比的定義求得b的值，然后利用1減去其它各組的百分比即可求得a的值；

（2）根據(jù)百分比的定義求得德國、西班牙的人數(shù)，即可解答；

（3）利用總?cè)藬?shù)4800，乘以對(duì)應(yīng)的百分比即可求解.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù).

例5 （2014年廣西欽州）某校為了解學(xué)生對(duì)三種國慶活動(dòng)方案的意見，對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查（被調(diào)查學(xué)生至多贊成其中的一種方案），現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題

（2）請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）已知該校有1000名學(xué)生，試估計(jì)該校贊成方案1的學(xué)生約有多少人？

【分析】（1）根據(jù)贊成方案3的有15人，占25%，據(jù)此即可求得調(diào)查的總?cè)藬?shù)，利用360°乘以對(duì)應(yīng)的比例即可求得圖中方案1所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)；

（2）利用總?cè)藬?shù)減去其它各組的人數(shù)，即可求得贊成方案2的人數(shù)，從而作出直方圖；

（3）利用總?cè)藬?shù)1000乘以對(duì)應(yīng)的比例即可求解.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小.

總之，數(shù)學(xué)思想方法只有在反復(fù)的運(yùn)用中才能被學(xué)生所熟悉掌握，這需要數(shù)學(xué)教師有意識(shí)的滲透到平時(shí)的教學(xué)之中.一旦學(xué)生領(lǐng)悟到這些數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵與真諦，將會(huì)更深刻地理解知識(shí)，靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題，從而形成分析、解決問題的能力.就像日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾說的：“我搞了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在初中、高中階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)……離校后不到一二年，便會(huì)很快遺忘掉了.然而無論他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維方法、研究方法……卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生.”

（作者單位：蘇州市吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）