例說數學思想在數據收集、整理、描述中的應用

朱志偉

數學是一門非常重要的工具學科，有些學生在學習數學的時候，由于沒有掌握好正確的數學學習方法，從而陷入題海，茫然不知所措.如果學生領會數學思想，則可以較快地提高學習質量和數學能力.

一、特殊到一般的思想

例1 （2014·呼和浩特）以下問題，不適合用全面調查的是（ ）

A.旅客上飛機前的安檢

B.學校招聘教師，對應聘人員的面試

C.了解全校學生的課外讀書時間

D.了解一批燈泡的使用壽命

【分析】由普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似.

【解答】

A、旅客上飛機前的安檢，意義重大，宜用全面調查，故此選項錯誤；

B、學校招聘教師，對應聘人員面試必須全面調查，故此選項錯誤；

C、了解全校同學課外讀書時間，數量不大，宜用全面調查，故此選項錯誤；

D、了解一批燈泡的使用壽，具有破壞性，工作量大，不適合全面調查，故D選項正確.

【點評】本題考查了抽樣調查和全面調查的區別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大時，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查.

例2（2014·青島）在一個有15萬人的小鎮，隨機調查了3000人，其中有300人看中央電視臺的早間新聞.據此，估計該鎮看中央電視臺早間新聞的約有（ ）

A.2.5萬人 B.2萬人 C.1.5萬人 D.1萬人

【分析】求得調查樣本的看早間新聞的百分比，然后乘以該鎮總人數即可.

【解答】

該鎮看中央電視臺早間新聞的約有

15× =1.5萬，故選B.

【點評】本題考查了用樣本估計總體的知識，解題的關鍵是求得樣本中觀看的百分比.

由特殊到一般、由一般到特殊的過程是認識事物的基本過程，數學也不例外.抽樣調查，又稱抽樣推斷，是一種重要的、科學的非全面調查方法.它根據調查的目的和任務要求，按照隨機原則，從若干單位組成的事物總體中，抽取部分樣本單位來進行調查、觀察，用所得到的調查標志的數據來推斷總體.即抽樣調查是根據部分實際調查結果來推斷總體標志總量的一種統計調查方法，屬于非全面調查的范疇.其中蘊涵了重要的統計思想——樣本估計總體.用樣本估計總體是特殊到一般的數學思想的一種形式，是本節重點介紹的統計調查方法.

二、分類討論思想

例3（蘇科版八年級下冊P10第4題）利用下面的調查問卷對全班同學的上學方式進行調查，并整理調查結果，列出統計表，畫出條形統計圖.

【點評】這個活動是讓學生通過普查的方式去經歷收集、整理、描述和分析數據得出結論的統計過程，在經歷這個統計調查的過程中，感受統計的思想，建立統計的觀念，體驗統計的作用，逐步建立用數據說話的習慣.要完成這項活動，學生必須將各種情況分類討論.如果學生能理解并掌握分類討論的思想方法，在解題中進行正確、合理、嚴謹的分類，這既有利于把復雜的問題轉為簡單的問題來處理，同時也可以培養學生的綜合分析能力和發展他們思維的條理性、嚴謹性和完整性.

三、數形結合思想

我國著名的數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形無數時難入微”，這是對數形結合思想的高度概括.數形結合培養學生的空間觀念和數感，是使學生進行形象思維與抽象思維互相促進，和諧發展的主要形式；數形結合教學又有利于培養學生靈活運用知識的能力.

例4（2014·遼寧沈陽）2014年世界杯足球賽于北京時間6月13日2時在巴西開幕，某媒體足球欄目從參加世界杯球隊中選出五支傳統強隊：意大利隊、德國隊、西班牙隊、巴西隊、阿根廷隊，對哪支球隊最有可能獲得冠軍進行了問卷調查.為了使調查結果有效，每位被調查者只能填寫一份問卷，在問卷中必須選擇這五支球隊中的一隊作為調查結果，這樣的問卷才能成為有效問卷.從收集到的4800份有效問卷中隨機抽取部分問卷進行了統計，繪制了統計圖表的一部分如下：

（2）根據以上信息，請直接在答題卡中補全條形統計圖；

（3）根據抽樣調查結果，請你估計在提供有效問卷的這4800人中有多少人預測德國隊最有可能獲得冠軍.

【分析】（1）首先根據意大利有85人，占17%，據此即可求得總人數，則根據百分比的定義求得b的值，然后利用1減去其它各組的百分比即可求得a的值；

（2）根據百分比的定義求得德國、西班牙的人數，即可解答；

（3）利用總人數4800，乘以對應的百分比即可求解.

【點評】本題考查的是條形統計圖的綜合運用.讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據.

例5 （2014年廣西欽州）某校為了解學生對三種國慶活動方案的意見，對該校學生進行了一次抽樣調查（被調查學生至多贊成其中的一種方案），現將調查結果繪制成如圖兩幅不完整的統計圖.

請根據圖中提供的信息解答下列問題

（2）請把條形統計圖補充完整；

（3）已知該校有1000名學生，試估計該校贊成方案1的學生約有多少人？

【分析】（1）根據贊成方案3的有15人，占25%，據此即可求得調查的總人數，利用360°乘以對應的比例即可求得圖中方案1所對應的圓心角的度數；

（2）利用總人數減去其它各組的人數，即可求得贊成方案2的人數，從而作出直方圖；

（3）利用總人數1000乘以對應的比例即可求解.

【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

總之，數學思想方法只有在反復的運用中才能被學生所熟悉掌握，這需要數學教師有意識的滲透到平時的教學之中.一旦學生領悟到這些數學思想方法的內涵與真諦，將會更深刻地理解知識，靈活運用知識解決問題，從而形成分析、解決問題的能力.就像日本著名數學教育家米山國藏曾說的：“我搞了多年的數學教育，發現學生在初中、高中階段學習的數學知識……離校后不到一二年，便會很快遺忘掉了.然而無論他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學精神、數學思維方法、研究方法……卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生.”

（作者單位：蘇州市吳江區實驗初級中學）