如何用頻率來估計(jì)概率

顧長亮

在蘇科版初中數(shù)學(xué)課本里所學(xué)習(xí)的概率計(jì)算問題有以下類型：第一類是可以列舉有限個(gè)等可能發(fā)生的結(jié)果的概率計(jì)算問題（一步試驗(yàn)直接列舉，兩步以上的試驗(yàn)可以借助樹狀圖或表格列舉），比如擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)；第二類是用試驗(yàn)或者模擬試驗(yàn)的數(shù)據(jù)計(jì)算頻率，并用頻率估計(jì)概率的概率計(jì)算問題，比如擲圖釘?shù)脑囼?yàn)。在八年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中概率的計(jì)算，主要是第二類題型，我們知道頻率是研究概率的基礎(chǔ)，所以利用頻率估計(jì)概率的試題頻頻出現(xiàn)在各地的中考試卷中，下面以中考題為例，來剖析這一類題型的解法。

一、填空題中的用頻率估計(jì)概率

例1.在課外活動(dòng)中，小明同學(xué)在相同的條件下做了某種作物種子發(fā)芽的實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：

由此估計(jì)這種作物種子發(fā)芽率約為 （精確到0.01）.

解：由公式種子的發(fā)芽率= 可求出種子的發(fā)芽率為0.939，因?yàn)榫_到0.001故答案為0.94.

點(diǎn)評(píng)：本題考察了百分率問題（1）種子的發(fā)芽率= ；（2）注意括號(hào)的中的要求為精確到0.01

例2.有一箱規(guī)格相同的紅、黃兩種顏色的小塑料球共1000個(gè).為了估計(jì)這兩種顏色的球各有多少個(gè)，小明將箱子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回箱子中，多次重復(fù)上述過程后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率約為0.6，據(jù)此可以估計(jì)紅球的個(gè)數(shù)約為 .

解：解：∵摸到紅球的頻率約為0.6，∴紅球所占的百分比是60%.∴1000×60%=600.

故答案為：600.

點(diǎn)評(píng)：本題考查用頻率估計(jì)概率，因?yàn)槎啻沃貜?fù)上述過程后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率約為0.6，所以紅球所占的百分比也就是60%，根據(jù)總數(shù)可求出紅球個(gè)數(shù).

二、選擇題中的用頻率估計(jì)概率

例3.“六·一”兒童節(jié)，某玩具超市設(shè)立了一個(gè)如圖所示的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，開展有獎(jiǎng)購買活動(dòng).顧客購買玩具就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)獎(jiǎng)品.下表是該活動(dòng)的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

下列說法不正確的是（ ）

A.當(dāng)n很大時(shí)，估計(jì)指針落在“鉛筆”區(qū)域的頻率大約是0.70

B.假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率大約是0.70

C.如果轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2000次，指針落在“文具盒”區(qū)域的次數(shù)大約有600次

D.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤10次，一定有3次獲得文具盒

解：由表中提供的信息可知，只有“轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤10次，一定有3次獲得文具盒”的判斷不一定正確，故應(yīng)選D.

點(diǎn)評(píng)：正確正解頻率與概率之間的關(guān)系是求解此類問題的關(guān)鍵. 由表中提供的信息，我們可以知道，當(dāng)n很大時(shí)，指針落在“鉛筆”區(qū)域的頻率趨于0.70，由此，由頻率與概率之間的關(guān)系可知，假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率大約是0.70，如果轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2000次，指針落在“文具盒”區(qū)域的次數(shù)大約有2000次×（1-0.7）=600次，而將轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤10次，卻不一定有3次獲得文具盒.

三、解答題中的用頻率估計(jì)概率

例4.六一期間，某公園游戲場(chǎng)舉行“迎奧運(yùn)”活動(dòng).有一種游戲的規(guī)則是：在一個(gè)裝有6個(gè)紅球和若干個(gè)白球（每個(gè)球除顏色外其他都相同）的袋中，隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到一個(gè)紅球就得到一個(gè)奧運(yùn)福娃玩具.已知參加這種游戲活動(dòng)為40 000人次，公園游戲場(chǎng)發(fā)放的福娃玩具為10 000個(gè).

（1）求參加一次這種游戲活動(dòng)得到福娃玩具的頻率；

（2）請(qǐng)你估計(jì)袋中白球接近多少個(gè)？

分析（1）由40 000人次中公園游戲場(chǎng)發(fā)放的福娃玩具為10 000個(gè)，結(jié)合頻率的意義可直接求得.（2）由概率與頻率的關(guān)系可估計(jì)從袋中任意摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率，從而引進(jìn)未知數(shù)，構(gòu)造方程求解.

解（1）因?yàn)?= ，所以參加一次這種游戲活動(dòng)得到福娃玩具的頻率為 .

（2）因?yàn)樵囼?yàn)次數(shù)很大，大數(shù)次試驗(yàn)時(shí)，頻率接近于理論頻率，

所以估計(jì)從袋中任意摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率是 .

設(shè)袋中白球有x個(gè)，則根據(jù)題意，得 = ，解得x=18.經(jīng)檢驗(yàn)x=18是方程的解.

所以估計(jì)袋中白球接近18個(gè).

點(diǎn)評(píng)：利用頻率估計(jì)概率，并以此引進(jìn)未知數(shù)構(gòu)造方程是求解此類問題的常用方法，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意體會(huì)和運(yùn)用.

例5.研究問題：一個(gè)不透明的盒中裝有若干個(gè)只有顏色不一樣的紅球與黃球，怎樣估算不同顏色球的數(shù)量？

操作方法：先從盒中摸出8個(gè)球，畫上記號(hào)放回盒中，再進(jìn)行摸球?qū)嶒?yàn)，摸球?qū)嶒?yàn)的要求：先攪拌均勻，每次摸出一個(gè)球，放回盒中，再繼續(xù).

點(diǎn)評(píng)：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以得到50次摸球?qū)嶒?yàn)活動(dòng)中，出現(xiàn)紅球20次，黃球30次，由此即可求出盒中紅球、黃球各占總球數(shù)的百分比；

（2）由題意可知50次摸球?qū)嶒?yàn)活動(dòng)中，出現(xiàn)有記號(hào)的球4次，由此可以求出總球數(shù)，然后利用（1）的結(jié)論即可求出盒中紅球.

此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率的問題，首先利用模擬實(shí)驗(yàn)得到盒中紅球、黃球各占總球數(shù)的百分比，然后利用百分比即可求出盒中紅球個(gè)數(shù).