“認(rèn)識(shí)概率”中的數(shù)學(xué)思想方法

錢娟

著名日本科學(xué)家米山國(guó)藏指出 “作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，出校門不到兩年可能就忘了，深深銘記在頭腦中的唯有數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想研究方法和著眼點(diǎn)， 這些都隨時(shí)隨地發(fā)生動(dòng)作，使人們終身受益”。數(shù)學(xué)的精髓不在于知識(shí)本身，而在于數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。本文就“認(rèn)識(shí)概率”這章中常用的一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，作簡(jiǎn)單介紹，為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)做好鋪墊.

一、 “枚舉思想”

枚舉思想是解決概率問題的一個(gè)重要思想方法，對(duì)于一些簡(jiǎn)單的問題，通過枚舉法即可獲解.

例1（2014·浙江金華?）一個(gè)布袋里面裝有5個(gè)球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外其他完全相同，從中任意摸出一個(gè)球，是紅球的概率是【 】

【分析】：首先根據(jù)題意利用枚舉法可得，摸出的球可能是紅1，紅2，紅3，白1，白2，共五種情況所以是紅球的的概率為 .

【答案】選A.

【點(diǎn)評(píng)】：本題中“袋中的五個(gè)球”被抽到的可能性相等，且該實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果為有限多個(gè)，從而應(yīng)用“枚舉思想”解決了本題，這兩個(gè)特點(diǎn)也正是能運(yùn)用枚舉法求解的兩個(gè)基本特征.另外，本題還鞏固了簡(jiǎn)單概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）= .

二、 “方程思想”

方程思想是指解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，先分學(xué)問題中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，建立方程或方程組，然后求解方程（組），使原問題獲解.這一思想方法，在概率解題中應(yīng)用廣泛.

例2（2014·泰州）某籃球運(yùn)動(dòng)員去年共參加40場(chǎng)比賽，其中3分球的命中率為0.25，平均每場(chǎng)有12次3分球未投中.

（1）該運(yùn)動(dòng)員去年的比賽中共投中多少個(gè)3分球？

（2）在其中的一場(chǎng)比賽中，該運(yùn)動(dòng)員3分球共出手20次，小亮說，該運(yùn)動(dòng)員這場(chǎng)比賽中一定投中了5個(gè)3分球，你認(rèn)為小亮的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）設(shè)該運(yùn)動(dòng)員共出手x個(gè)3分球，則3分球命中0.25x個(gè)，未投中0.75x個(gè)，根據(jù)“某籃球運(yùn)動(dòng)員去年共參加40場(chǎng)比賽，平均每場(chǎng)有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可；

（2）根據(jù)概率的意義知某事件發(fā)生的概率，就是在大量重復(fù)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定到的某個(gè)值；由此加以理解即可.

三、“函數(shù)思想”

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題和解決問題.

例3（改編） 已知一紙箱中裝有5個(gè)只有顏色不同的球，其中2個(gè)白球，3個(gè)紅球.

（1）求從箱中隨機(jī)取出一個(gè)白球的概率是多少？

（2）若往裝有5個(gè)球的原紙箱中，再放入 個(gè)白球和 個(gè)紅球，從箱中隨機(jī)取出一個(gè)白球的概率是 ，求 與 的函數(shù)解析式.

【分析】（1）從裝有5個(gè)只有顏色不同球的紙箱中摸出一個(gè)球，共有3+2=5種不同的結(jié)果，其中摸到白球的結(jié)果有2個(gè)，所以取出一個(gè)白球的概率是 ；（2） 往裝有5個(gè)球的原紙箱中，再放入 個(gè)白球和 個(gè)紅球后，箱中共有球5+x+y（個(gè)），其中白球2+x（個(gè)），根據(jù)取出一個(gè)白球的概率是 列出關(guān)于x、y的方程，然后用含x的代數(shù)式表示y即可得到 與 的函數(shù)解析式.

【點(diǎn)評(píng)】 函數(shù)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，并抽象其數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)，使問題得到解決.這種思想方法在于揭示問題的數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征，重在對(duì)問題的變量進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究，從運(yùn)動(dòng)變化

四 “數(shù)形結(jié)合的思想”

數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.“數(shù)”和“形”之間有著密切的聯(lián)系，在一定條件下，可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.根據(jù)研究問題的需要，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，進(jìn)而探求問題的解答的思想方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法.本章中，利用表格、頻率分布折線圖、圖形面積等探求概率的過程，便體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合的思想方法”.

例4（2014·邵陽）有一個(gè)能自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤如圖，盤面被分成8個(gè)大小與性狀都相同的扇形，顏色分為黑白兩種，將指針的位置固定，讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)它停止后，指針指向白色扇形的概率是 .

【分析】只要先弄清黑色區(qū)域面積和整個(gè)圖形的面積關(guān)系即可.

【解答】根據(jù)題意，這個(gè)轉(zhuǎn)盤是將“圓平均分成了8份”而制得，所以圓分得的8塊圖形的面積相等，故，黑色區(qū)域的面積是整個(gè)圖形面積的一半.所以，轉(zhuǎn)盤指向白色區(qū)域的可能性為 。

【點(diǎn)評(píng)】本題借助圖形面積使問題獲解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)本題中解答時(shí)也滲透了“整體的數(shù)學(xué)思想”.

五 “分類討論的思想”

在解決一些稍復(fù)雜的概率問題，如問題中含有多種可能的情況時(shí)，往往需要考慮到各種情況對(duì)應(yīng)的結(jié)果數(shù)，這就需要進(jìn)行分類討論.

（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求此不等式的解，并在數(shù)軸上表示此不等式的解集；

（2）小明準(zhǔn)備了十張形狀、大小完全相同的不透明卡片，上面分別寫有整數(shù)-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1，將這10張卡片寫有整數(shù)的一面向下放在桌面上.從中任意抽取一張，以卡片上的數(shù)作為不等式中的系數(shù)a，求使該不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率.