“認識概率”中的數學思想方法

錢娟

著名日本科學家米山國藏指出 “作為知識的數學，出校門不到兩年可能就忘了，深深銘記在頭腦中的唯有數學的精神、數學的思想研究方法和著眼點， 這些都隨時隨地發生動作，使人們終身受益”。數學的精髓不在于知識本身，而在于數學知識中所蘊含的數學思想方法。本文就“認識概率”這章中常用的一些基本的數學思想方法，作簡單介紹，為后繼進一步學習概率統計知識做好鋪墊.

一、 “枚舉思想”

枚舉思想是解決概率問題的一個重要思想方法，對于一些簡單的問題，通過枚舉法即可獲解.

例1（2014·浙江金華?）一個布袋里面裝有5個球，其中3個紅球，2個白球，每個球除顏色外其他完全相同，從中任意摸出一個球，是紅球的概率是【 】

【分析】：首先根據題意利用枚舉法可得，摸出的球可能是紅1，紅2，紅3，白1，白2，共五種情況所以是紅球的的概率為 .

【答案】選A.

【點評】：本題中“袋中的五個球”被抽到的可能性相等，且該實驗出現的結果為有限多個，從而應用“枚舉思想”解決了本題，這兩個特點也正是能運用枚舉法求解的兩個基本特征.另外，本題還鞏固了簡單概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）= .

二、 “方程思想”

方程思想是指解決數學問題時，先分學問題中的等量關系，設出未知數，建立方程或方程組，然后求解方程（組），使原問題獲解.這一思想方法，在概率解題中應用廣泛.

例2（2014·泰州）某籃球運動員去年共參加40場比賽，其中3分球的命中率為0.25，平均每場有12次3分球未投中.

（1）該運動員去年的比賽中共投中多少個3分球？

（2）在其中的一場比賽中，該運動員3分球共出手20次，小亮說，該運動員這場比賽中一定投中了5個3分球，你認為小亮的說法正確嗎？請說明理由.

【分析】（1）設該運動員共出手x個3分球，則3分球命中0.25x個，未投中0.75x個，根據“某籃球運動員去年共參加40場比賽，平均每場有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可；

（2）根據概率的意義知某事件發生的概率，就是在大量重復試驗的基礎上事件發生的頻率穩定到的某個值；由此加以理解即可.

三、“函數思想”

函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題，轉化問題和解決問題.

例3（改編） 已知一紙箱中裝有5個只有顏色不同的球，其中2個白球，3個紅球.

（1）求從箱中隨機取出一個白球的概率是多少？

（2）若往裝有5個球的原紙箱中，再放入 個白球和 個紅球，從箱中隨機取出一個白球的概率是 ，求 與 的函數解析式.

【分析】（1）從裝有5個只有顏色不同球的紙箱中摸出一個球，共有3+2=5種不同的結果，其中摸到白球的結果有2個，所以取出一個白球的概率是 ；（2） 往裝有5個球的原紙箱中，再放入 個白球和 個紅球后，箱中共有球5+x+y（個），其中白球2+x（個），根據取出一個白球的概率是 列出關于x、y的方程，然后用含x的代數式表示y即可得到 與 的函數解析式.

【點評】 函數思想是一種重要的數學思想方法函數思想的實質是用聯系和變化的觀點提出數學對象，并抽象其數量特征，建立函數關系，運用函數的知識，使問題得到解決.這種思想方法在于揭示問題的數量關系的本質特征，重在對問題的變量進行動態研究，從運動變化

四 “數形結合的思想”

數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”.“數”和“形”之間有著密切的聯系，在一定條件下，可以相互轉化，相互滲透.根據研究問題的需要，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，進而探求問題的解答的思想方法即數形結合的思想方法.本章中，利用表格、頻率分布折線圖、圖形面積等探求概率的過程，便體現了“數形結合的思想方法”.

例4（2014·邵陽）有一個能自由轉動的轉盤如圖，盤面被分成8個大小與性狀都相同的扇形，顏色分為黑白兩種，將指針的位置固定，讓轉盤自由轉動，當它停止后，指針指向白色扇形的概率是 .

【分析】只要先弄清黑色區域面積和整個圖形的面積關系即可.

【解答】根據題意，這個轉盤是將“圓平均分成了8份”而制得，所以圓分得的8塊圖形的面積相等，故，黑色區域的面積是整個圖形面積的一半.所以，轉盤指向白色區域的可能性為 。

【點評】本題借助圖形面積使問題獲解，體現了數形結合的思想，同時本題中解答時也滲透了“整體的數學思想”.

五 “分類討論的思想”

在解決一些稍復雜的概率問題，如問題中含有多種可能的情況時，往往需要考慮到各種情況對應的結果數，這就需要進行分類討論.

（1）當a=-2時，求此不等式的解，并在數軸上表示此不等式的解集；

（2）小明準備了十張形狀、大小完全相同的不透明卡片，上面分別寫有整數-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1，將這10張卡片寫有整數的一面向下放在桌面上.從中任意抽取一張，以卡片上的數作為不等式中的系數a，求使該不等式沒有正整數解的概率.