頻率和概率的區別與聯系

吳秋芳

小學里同學們就已經了解了有關事件發生的等可能性、游戲規則的公平性，并能進行簡單事件發生的可能性的計算；到初中以后，開始系統學習概率，初步了解頻率與概率的關系，所以概率知識對同學們來說并不陌生。但一部分同學認為隨機事件都是等可能事件，并且只學會了用列舉法求隨機事件的概率，機械地運用公式，即使有時能用隨機事件發生的頻率估算概率，但是對于頻率和概率之間的關系卻不能形成正確認識。

在自然界和人類社會中，嚴格意義上的確定性現象是非常有限的，相反，不確定現象（又稱隨機現象）卻大量存在，而概率正是這種隨機現象的數學描述。概率，又稱機會率、機率或可能性，是數學概率論的基本概念，是一個在0到1之間的實數，是對隨機事件發生可能性的度量。表示一個事件可能性大小的數，就叫做該事件的概率。人們常說某人有百分之多少的把握通過這次考試、某件事發生可能性是多少，這都是概率的實例。但如果一件事情發生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次發生該事件，而是說此事件發生的頻率接近于1/n這個數值。頻率，是指在相同的條件下進行了n次試驗，在這n次試驗中事件A發生的次數n（A）稱為事件A發生的頻數，比值n（A）/n稱為事件A的頻率，并記為fn（A），用文字表示定義為：每個對象出現的次數與總次數的比值就是頻率。其實頻率實驗中事件發生的具體比率。概率是個抽象的數學概念。簡單的說，概率是一般，頻率是特殊。

要想更好地掌握這兩個實用知識，必須知道它們之間的關系。

首先， 頻率和概率是相互聯系的。

某個試驗如果只能進行一次，在這樣的條件下得出的結果根本無隨機性可言。事實上，頻率穩定于概率這個結論，是針對在相同的條件下，大量的重復試驗而言的。如果在試驗的次數不多的前提下，用頻率來估計概率是不太合適的. 例如，拋擲一枚質地均勻的硬幣，如果我們只拋了20次，結果發現正面朝上有5次，就認為正面朝上的概率大約為0.25，這樣的結論我們肯定不會接受的，誤差太大了。如果我們不斷試驗就會得到不同的試驗值，也會越來越接近于這個事件的理論值0.5（見表格）。所以頻率穩定于概率是對大量的實驗而言的。

在大量的重復的試驗中，事件發生的頻率會穩定地在概率附近擺動，因此我們在生活中也常常采用這種方法，求得隨機事件的頻率，來估計隨機事件發生的概率。

在多次重復試驗中，一個事件發生的頻率越大，說明在一次試驗中該事件發生的可能性也就越大， 反之就小。 同樣道理，事件的概率越大，在重復試驗中，該事件的發生就比較頻繁，因此事件的頻率也較大。這就是說概率的現實意義是可以用頻率來解釋的，它能幫助人們做出合理的決策，但不可以替代。

其次，兩者還有本質的區別。

頻率在試驗之前是不能確定的，它隨著實驗的次數變化而變化，即使兩次重復試驗的次數相同，關注事件出現的次數也可能不同，結果（ 頻率） 也就可能不同.頻率是一個隨著試驗次數的增加可能發生變化的統計量.而概率是完全決定于事件的本身，先于試驗而客觀存在的，它不會隨著試驗次數的增加而發生變化。 譬如，拋擲一枚正六面體骰子，出現同一數字向上的概率是1/6、，與做多少次試驗無關。

有時某個事件發生的概率較大，按道理該事件發生的可能性也應該較大，但是在多次試驗中該事件有可能就不發生；反之概率小，但在一次或兩次試驗中就有可能發生。 這正是事件的隨機性與概率的確定性的區別特征。如我們買體育彩票就是這樣，盡管中特等獎的概率很小，但是并不是不能中獎，或許買一張也會中大獎的。

事實告訴我們，概率是頻率在理論上的一種期望值，即使你重復試驗也無法得到準確值，它始終是個近似值。概率其實是頻率的科學抽象，如拋一枚正六面體骰子，在試驗次數很大時，同一數字朝上，都會在常數1/6 附近擺動；再如拋擲一枚硬幣，不斷重復試驗，正面朝上和反面朝上的比值會接近1：1……這個結果是不以人的意志為轉移的，但次數相當多時，試驗值會更接近理論值，這對于我們研究事件是會有幫助的。

不過有人認為“試驗次數越多，用頻率估計概率就會越準確”，這樣的說法其實不夠嚴密。如果一個不透明口袋里有紅白兩個球，從中取出一個球后再放回，重復500次，或者1000次，按道理拿到白球的頻率應該接近0.5，但事實上就有可能差距很大。所以說隨機現象有其偶然性，也有其必然性，這就是表現在大量試驗中隨機事件出現頻率的穩定性，一個隨機事件出現的頻率常在某個固定的常數附近擺動（盡管在許多場合這個固定的常數很容易被確定），這種現象被稱為統計規律。

概率知識在日常生活和科學研究中有著廣泛的應用，所以學習了概率，我們可以體會概率模型的作用以及運用概率思考問題的特點，形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識，從而解決一些簡單的實際問題。