香港兩種教材“圓的認識”的比較研究（下）

朱樂平

六、兩種教材各是如何引導師生研究直徑屬性的

香港的小學數學教材與大陸一樣，也是通過研究直徑與半徑的屬性及關系來闡述圓的特征。由于2003年的教材關于直徑與半徑的屬性及關系的內容很豐富，所以，筆者把直徑與半徑屬性的研究分成兩個問題來闡述。我們先來看關于直徑的屬性，兩種教材分別是如何編寫的。

兩種教材對直徑的研究各有自己的特點。

1985年的教材在給出圓的各部分名稱后，出示了一個練習，用于鞏固圓的各部分名稱，并用度量明確了直徑與半徑的關系后，開始研究直徑的屬性，要求學生度量并研究直徑的特性。

2003年的教材也是在給出了圓的各部分名稱后，研究直徑的屬性，主要分成以下幾個階段來研究。

第一階段：教材專門列出小標題，明確指出這一段教材是研究“圓形的直徑”，先出示下圖，要求學生觀察：

在觀察上圖的基礎上，要求學生完成下面的“填填、量量與畫畫”。

從上面的過程中，我們可以看到學生的活動比較充分。通過觀察、度量、畫圖、比較、交流等活動，讓學生對直徑的概念得到進一步鞏固，對直徑的屬性有了明確認識。

第二階段：這一階段是在研究了半徑的屬性后，知道了半徑與直徑的關系，然后要求畫畫、量量，進一步研究直徑的屬性，并明確直徑是圓周內最長的直線。

第三階段：在這一階段中，教材首先出示了“弦”的概念。

然后，讓學生通過著色與畫平行于直徑的弦，觀察比較這些弦的長短關系，形成判斷后，用填空的形式表達出來。即要求上半個圓中的弦從長到短排列，下半個圓中的弦從短到長排列。

在觀察、比較、排列的基礎上，再要求學生進行度量，用度量得到的數據，對上面的弦的長短排列的正確性進行驗證。最后研究直徑與弦的關系。

從上面的兩種教材介紹中，我們可以看到，1985年的教材對于直徑屬性的研究比較簡單，而2003年的教材內容十分豐富。

七、兩種教材各是如何引導師生研究半徑的屬性以及半徑與直徑關系的

1985年的教材在給出了圓的各部分名稱后，要求學生看圖并填空，再通過度量明確直徑與半徑的關系。教材如下：

2003年的教材在研究半徑的屬性時，也與研究直徑一樣專門單列一節“圓的半徑”。整個半徑屬性的研究過程可以分成兩個階段。

第一階段：先出示一個畫有兩條直徑的圓，要求學生觀察。

然后出示下面的填空題，要求學生通過度量、比較、交流等活動研究半徑的屬性和它與直徑的關系。

第二階段：教材安排在圓的認識（二）中，在學習了畫圓以后，研究相切（外切）的三個圓，圓心的連線組成什么三角形時，進一步用到半徑的屬性。這是在應用過程中，進一步掌握半徑的屬性。教材如下：

很顯然，學生通過度量、畫圖可以進一步明確圓的大小是由什么決定的。下面的問題，更可以使學生感受到半徑決定圓的大小。

從上面的兩種教材介紹中我們同樣可以看到，在研究與應用半徑的屬性時，1985年的教材很簡單，而2003年的教材就比較豐富。兩種教材在編寫畫圓方面，既有相同的地方，又有著明顯的差異。它們主要有以下幾個方面的相同與不同：

（1）兩種教材關于畫圓的教學內容基本相同，內容編寫的前后順序也基本一致。教材都涉及以下三個方面的教學內容，并根據以下順序進行編排：①用其他工具畫圓；②用圓規畫圓；③運用圓規與直尺設計圖案。

（2）2003年的教材比1985年的教材教學思路更清晰，解決問題的思路表述更具體、更明白。

從上面的教材介紹中，我們可以看到，從總體上說，2003年的教材對教師與學生的教學過程提示更清晰。也就是說，2003年的教材編者更強調學習的過程。兩種教材主要有以下幾個方面的差異：

①2003年的教材在給出用不同的工具畫圓前，創設了一個“野馬情境”，讓學生直觀地認識到圓的動態形成過程。學生積累的這些感性認識，不但可以使他們進一步理解圓的特征，而且也為他們進一步學習畫圓、理解畫圓的原理奠定了基礎。而1985年的教材就沒有設計這樣的學習過程。

②1985年的教材先給出了三種工具畫圓的圖示，再給出了一個思考題：“想一想：用這些方法畫圓，有什么限制與不便？”而2003年的教材給出了四種工具作圓的圖示，讓學生觀察后給出了六個思考題。

兩種教材不僅在畫圓的方法上不同，提出的思考性問題的數量不同，更為重要的是1985年的教材提出的思考題比較籠統，所涉及的范圍比較大；2003年的教材提出了六個思考題，這樣的問題串對引導學生思考圓的特征、理解畫圓的方法及畫圓的原理，有著十分積極的意義。比如，教材給出了問題：“哪些畫圓的方法或原理與上頁野馬在圍欄內奔跑的情境相似？為什么？”這是一個很有啟發性的問題，要求學生與“野馬情境”相比較，思考每一種畫圓方法的原理是什么，并說一說理由。解決這個問題的過程要求學生觀察（不同工具畫圓的過程），比較（與野馬情境是否相似），思考與表達（為什么相似或不相似）。這是一個學生在數學能力上的發展過程。又如，與1985年的教材的這個思考題相關的內容，2003年的教材出示了4個問題：“根據上題，哪些幫助畫圓形的工具，會影響所畫圓形的半徑或直徑的長度？用哪些方法畫出的圓形會比較工整？用哪些方法可以調節半徑的長度？有哪些方法不可以調節半徑的長度？”可見，2003年的教材給出的思考題，為學生的學習提供了階梯，有利于讓學生展開獨立思考與小組交流，并從這個過程中獲得發展。

③2003年的教材在用圓規畫圓時給出了具體的操作步驟，而1985年的教材只有一個用圓規畫圓的圖示，沒有在方法上給出更具體的指導。用圓規畫圓看上去是一個簡單的過程，其實學生畫時常常畫不工整。分步給出操作步驟能為學生學習和掌握這種技能起到積極的作用。

④2003年的教材在教學如何用圓規畫圓的基礎上，還安排了運用圓規作圖解決問題的內容，主要是兩個方面：一方面是畫三個兩兩外切的圓，并連接三個圓心，判斷形成的三角形是什么類型的，如是否是等邊三角形等。（詳見上文中的第7個問題：關于半徑屬性的研究比較）另一方面是專門設立了一節“探究與發現”，主要是利用正方形與圓形的關系作圓。