模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

邱廷建

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和應(yīng)用意識。”

模型思想是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）新增加的核心概念，作為一種基本的數(shù)學(xué)思想提出來，這就需要教師對模型思想的含義及要求有準(zhǔn)確理解和把握，并把要求落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中。在小學(xué)階段，小學(xué)生對數(shù)學(xué)模型思想的感悟、體會和建立，不像某些數(shù)學(xué)知識的掌握那樣可以立竿見影，需要教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，逐步滲透和引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，不斷感悟數(shù)學(xué)模型思想，通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題。

一、準(zhǔn)確理解，弄清模型思想的含義及要求

東北師大史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》中指出：“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型……通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。”從數(shù)學(xué)產(chǎn)生、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學(xué)外部關(guān)聯(lián)三個維度概括了對數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大的三個重要思想。這說明模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一。

作為中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的模型思想，應(yīng)該在數(shù)學(xué)的本質(zhì)意義上讓學(xué)生去感悟，去體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，去體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，并讓學(xué)生在頭腦中建立起這樣的認(rèn)識：數(shù)學(xué)與外部世界不是分離的而是緊密聯(lián)系的，連接它們之間的“橋梁”就是數(shù)學(xué)模型。

模型思想在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透和應(yīng)用，就是要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，讓學(xué)生感悟模型思想。也就是說，模型思想的建立要蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)建模之中。所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，抽象、概括地表征所研究對象（中小學(xué)主要指現(xiàn)實(shí)問題）的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中，為表征特定的現(xiàn)實(shí)問題，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。一般來說，建立數(shù)學(xué)模型的過程應(yīng)包括“觀察實(shí)際情境—發(fā)現(xiàn)、提出問題—抽象成數(shù)學(xué)模型—得到數(shù)學(xué)結(jié)果—檢驗(yàn)并調(diào)整、矯正模型”等多個環(huán)節(jié)。但是，義務(wù)教育階段特別是小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模應(yīng)視具體的課程內(nèi)容要求而定，不一定要經(jīng)歷所有環(huán)節(jié)。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）將前面多個環(huán)節(jié)的建模過程進(jìn)一步簡化為下面三個環(huán)節(jié)：首先，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)，然后用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動，完成模式抽象，建立數(shù)學(xué)模型。這是建模最重要的一個環(huán)節(jié)。最后，通過模型求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這樣，學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程中，不僅理解和掌握了知識技能，而且感悟和體會了模型思想，還積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，其情感態(tài)度與價(jià)值觀也得到了發(fā)展。

二、注重建構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“在呈現(xiàn)作為知識和技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。”根據(jù)建模過程簡化后的三個環(huán)節(jié)，可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)建模過程，引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)。學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程中，理解和掌握有關(guān)知識技能，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，感悟模型思想的本質(zhì)，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。下面以“平行四邊形的面積”的教學(xué)為例，說明建立一個數(shù)學(xué)模型的過程。

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

在提出問題、確定研究模型環(huán)節(jié)，教師應(yīng)盡可能為學(xué)生提供真實(shí)的問題情境，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要。問題可以由教師直接提出，也可以通過創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生提出，但要注意找準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，使提出的數(shù)學(xué)問題能引發(fā)學(xué)生的思考。例如，可出示一個平行四邊形花壇的情境圖（如下），問：這個平行四邊形花壇的面積是多少？這里提出的探究問題是如何計(jì)算平行四邊形的面積，也就是需要建立平行四邊形面積計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。

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2.猜想與驗(yàn)證，建立模型

在數(shù)學(xué)抽象、建立模型環(huán)節(jié)，教師要引導(dǎo)學(xué)生針對問題特點(diǎn)和建模目的作出合理猜想，并驗(yàn)證猜想。這個環(huán)節(jié)教師不應(yīng)過早地對學(xué)生的猜想進(jìn)行評判，而應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注猜想背后的思想，關(guān)注學(xué)生是否調(diào)動了原有的知識經(jīng)驗(yàn)，并引導(dǎo)學(xué)生在操作、證明、交流和質(zhì)疑中用事實(shí)驗(yàn)證自己的猜想，或糾正自己的錯誤猜想。例如，怎樣計(jì)算這個平行四邊形花壇的面積？如果學(xué)生猜想“5×4”（鄰邊×高），教師就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：“鄰邊×高”究竟對不對？怎樣證明這一猜想是否正確？然后教師利用課件動態(tài)演示，用正方形面積單位測量，采用數(shù)方格的方法驗(yàn)證猜想。通過測量可以知道，用“5×4=20”個面積單位鋪這個平行四邊形，沒有鋪滿，因此，用“鄰邊×高”計(jì)算平行四邊形的面積是錯誤的。如果學(xué)生猜想“6×5”（底邊×鄰邊），教師繼續(xù)利用課件動態(tài)演示，用面積單位測量，采用數(shù)方格的方法驗(yàn)證猜想。通過測量可以知道，用“7×4=28”個面積單位鋪這個平行四邊形，就已經(jīng)超出4個面積單位，如果用“6×5=30”個面積單位鋪這個平行四邊形，就會超出更多的面積單位，因此，用“底邊×鄰邊”計(jì)算平行四邊形的面積是錯誤的。同樣，如果學(xué)生猜想“6×4”（底邊×高），教師再次利用課件動態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生用面積單位測量，采用數(shù)方格的方法驗(yàn)證猜想。通過測量可以知道，用“6×4=24”個面積單位鋪這個平行四邊形，正好鋪滿。因此，用“底邊×高”計(jì)算平行四邊形的面積是正確的。為了進(jìn)一步證明“平行四邊形的面積=底邊×高”具有普遍性，教師還可以滲透轉(zhuǎn)化思想，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用“剪拼法”證明。通過驗(yàn)證活動，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)，用“鄰邊×高”或“底邊×鄰邊”計(jì)算平行四邊形的面積的猜想都是錯誤的，正確的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是“平行四邊形的面積=底邊×高”，用字母表示是：S=a×h。這個過程，引導(dǎo)學(xué)生猜想、測量和比較，驗(yàn)證猜想，將錯誤的猜想逐一排除，讓學(xué)生感知、體會到“在猜想中排除”的學(xué)習(xí)方法，學(xué)生對這樣建立起來的正確的數(shù)學(xué)模型，印象是深刻的。

3.應(yīng)用模型，解決問題

建立數(shù)學(xué)模型，只是一種手段而不是目的。因?yàn)閺膶?shí)際問題出發(fā)建立的數(shù)學(xué)模型，還要運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)方法來進(jìn)行分析、計(jì)算和推導(dǎo)，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)上的解，然后用這個數(shù)學(xué)上的解為解決實(shí)際問題進(jìn)行科學(xué)解釋，形成新的理論和作出新的預(yù)見。因此，在應(yīng)用模型、解決問題這個環(huán)節(jié)，教師既要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用建立的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，也要對解決的實(shí)際問題進(jìn)行科學(xué)解釋。例如，建立了“S=ah”的數(shù)學(xué)模型后，可以讓學(xué)生完成課始提出的問題：“一個平行四邊形花壇的底是6m，高是4m，它的面積是多少？”把實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)代入關(guān)系式，進(jìn)行運(yùn)算：S=ah=6×4=24（平方米）。為了加深學(xué)生對“S=ah”這個數(shù)學(xué)模型的理解，還需要進(jìn)一步向?qū)W生解釋、說明，平行四邊形面積計(jì)算公式中的“底”與“高”必須相互對應(yīng)，如果不對應(yīng)，那么“底”與“高”的乘積就不是這個平行四邊形的面積。因此在應(yīng)用模型的過程中，教師還要注意不能讓學(xué)生簡單地套用模型，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生展示解決問題的思維過程，并對思維過程進(jìn)行剖析，進(jìn)一步加深學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的內(nèi)化。

三、重視滲透，引導(dǎo)學(xué)生感悟模型思想

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括……學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。”學(xué)生對模型思想的感悟需要經(jīng)歷一個過程，在這個過程中，學(xué)生總是從相對簡單到相對復(fù)雜，相對具體到相對抽象，逐步積累經(jīng)驗(yàn)，初步掌握一些建模方法，逐步形成運(yùn)用模型進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。因此在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意根據(jù)學(xué)生的年齡特征和不同學(xué)段的要求，循序漸進(jìn)地逐步滲透模型思想，將模型思想的滲透和感悟蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)概念、計(jì)算公式、運(yùn)算定律、運(yùn)算法則和解決問題的教學(xué)中。

1.在數(shù)學(xué)規(guī)律性知識的教學(xué)中滲透和感悟模型思想

小學(xué)數(shù)學(xué)知識的分類，從知識方面考慮，一般可以分為概念性知識、規(guī)律性知識和技能性知識。如各種運(yùn)算定律（加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律）以及幾何求周長、面積和體積的計(jì)算公式等，都屬于規(guī)律性知識。在這些規(guī)律性知識的結(jié)論中，往往涉及一個簡單的數(shù)學(xué)模型，這需要教師在教學(xué)中逐步滲透模型思想，并引導(dǎo)學(xué)生感悟模型思想。

例如“乘法分配律”的教學(xué)，首先要通過創(chuàng)設(shè)情境提出問題：3×（5+8）是不是等于3×5+3×8？這種情況對其他這類算式是否都成立？其次，讓學(xué)生通過觀察，驗(yàn)證下面的式子：6×（9+11）=6×9+6×11，8×（32+68）=8×32+8×68……學(xué)生通過觀察、比較、驗(yàn)證，就會找出其中的關(guān)系，并用字母表示出來：（a+b）×c=a×c+b×c。最后，解決問題并推廣。當(dāng)a=4，b=7，c=2時，2×（4+7）=2×4+2×7。對于任意數(shù)a、b、c，上述關(guān)系總是成立的。這樣，教師引導(dǎo)學(xué)生建立乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，并把已建立的數(shù)學(xué)模型推廣到一般情況，實(shí)際上就滲透了模型思想，讓學(xué)生感悟得出的結(jié)果：（a+b）×c=a×c+b×c，不只局限于一道或幾道具體的題目，而是a、b、c可以代表任意數(shù)。由于數(shù)學(xué)模型具有抽象概括的功能，學(xué)生如果能從普遍意義上去理解數(shù)學(xué)模型，就能有效掌握相應(yīng)的規(guī)律性知識。

2.在解決問題的教學(xué)中滲透和感悟模型思想

解決問題的過程，實(shí)際上是對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，并建立數(shù)學(xué)模型的過程。在解決問題的教學(xué)中滲透和感悟數(shù)學(xué)模型思想，教師既要重視引導(dǎo)學(xué)生提出問題并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，又要重視引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系并進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，注重用數(shù)學(xué)符號把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來，還要重視引導(dǎo)學(xué)生列式解答并優(yōu)化解答方案，使問題得到解決并推廣。

例如，“用反比例解決問題”的教學(xué)，可出示這樣一道題：“學(xué)校小商店有兩種圓珠筆。小華帶的錢剛好可以買4支單價(jià)1.5元的，如果他想都買單價(jià)是2元的，可以買多少支？”首先，教師提出問題：題中有哪兩種相關(guān)聯(lián)的量？它們是不是成比例的量？成什么比例？為什么？其次，分析數(shù)量關(guān)系并建立公式。單價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與總價(jià)有下面的關(guān)系：單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)。因?yàn)榭們r(jià)一定，也就是單價(jià)和數(shù)量的乘積一定，所以單價(jià)和數(shù)量成反比例。最后，解決問題并推廣。解：設(shè)可以買x支，根據(jù)單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系，列出方程：2x=1.5×4，求出方程的解：x=3。在此基礎(chǔ)上，還要引導(dǎo)學(xué)生將反比例關(guān)系用字母表示出來：x×y=k（一定），讓學(xué)生感悟x和y可以表示任意兩種相關(guān)聯(lián)的量，只要它們的乘積（k）一定，這兩種相關(guān)聯(lián)的量就成反比例關(guān)系。這樣旨在進(jìn)一步滲透反比例函數(shù)思想，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。

在解決問題的教學(xué)中滲透和感悟數(shù)學(xué)模型思想，可以使學(xué)生更清晰地理解應(yīng)用問題中的數(shù)量關(guān)系，更好地掌握應(yīng)用問題的結(jié)構(gòu)特征，更有效地發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力。需要注意的是，不能讓學(xué)生在沒有理解的基礎(chǔ)上死套公式，按部就班，要防止學(xué)生形成機(jī)械學(xué)習(xí)的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視模型思想的應(yīng)用，既要讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程，也要讓學(xué)生感悟和應(yīng)用模型思想，還要引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思數(shù)學(xué)建模的過程。在教學(xué)中，通過逐步滲透和引導(dǎo)學(xué)生感悟、反思模型思想，調(diào)動學(xué)生建模的興趣，總結(jié)建模經(jīng)驗(yàn)，體會模型力量，感悟模型魅力，從而形成模型思想，逐步提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力。