三角函數定積分的四種求解方法

裴琴娟

【摘要】文章給出了求解三角函數定積分的三種求解方法

【關鍵詞】 換元法 對稱法 待定系數法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）07-0215-01

Four methods of solving definite integral trigonometric function

PEI QINJUAN

ChangZhou garment and Textile Institute Department of Information Technology

213164， changzhou （China）；

【Abstract】This paper presents three methods for solving integral solution of trigonometric function

【Keywords】 Change element method Symmetry method The method of undetermined coefficients

定積分是微積分中很重要的一部分知識，因此對積分計算就顯得尤為重要，當三角函數和定積分綜合的時候，比起普通積分更加復雜，如果利用定積分的一些有趣的性質和特點以及三角函數的恒等變形等技巧時往往可以得到很美妙的形式，從而解決這類問題。下面就給出三種求解這些積分的技巧和方法。

一、 換元法

換元法是最為常見的一種積分方法，尤其是在遇到三角函數積分的時候，往往使得解題過程中出現柳暗花明的景象。

例1：

解：令原式=

二、對稱法

定積分有很多非常重要的性質，利用對稱性的特點和三角函數聯系起來后，往往可以將一些復雜的積分題目簡單化。

1、對稱區間上定積分性質：

定理1： （1）若

（2）若

（3）若

定理1中（1）式和（2）式簡單，其實 （3）式適用范圍更廣泛，用（3）式能更加簡單快速的求解出積分。

例2：

解：令

原式=

由（3）式可以繼續推廣到非對稱區間上。

2、非對稱區間上定積分的性質

定理2：

推論1：

推論1給出了更一般的非對稱區間的情形下一般函數求解積分的一種很好的思路。

例3：

解：由推論，我們得到：原式=

三、 待定系數法

當定積分形式為的一次項線性組合的有理積分時，通常可考慮用這種方法解答

例4：

解：令

原式。

以上是對三角函數的定積分求解的三種比較常見的技巧方法的總結，利用這些方法能夠很巧妙的化解積分形式，從而減少計算的步驟和復雜的程度，達到事半功倍的效果。

參考文獻：

[1] 李德新.利用對稱原理計算定積分的三種方法[J]. 高等數學研究， 2004（06），41-47

[2] 陳紀修等[編著].數學分析[M]. 高等教育出版社， 2004

[3] 同濟大學數學教研室.高等數學（上） [ M ]. 北京：高等教育出版社，2001， 299 —301