巧求最值

姜汀

【摘要】求最值是初中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，也是近年來考試中的一個(gè)熱點(diǎn)，在許多中考題、競賽題中都有體現(xiàn)。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合自己的教學(xué)體會，歸納出了幾種求最值的類型，以供參考。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 求最值

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）07-0213-01

一、用配方法求二次函數(shù)，二次三項(xiàng)式的最值

例1.求二次函數(shù)y=-4x2+2x+的最值

解 對二次函數(shù)y=-4x2+2x+配方得 y=-4（x-）2+

因?yàn)?4（x-）2 ≤0 所以 當(dāng)x=時(shí)，y最大 =

二、用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值

例2.已知非負(fù)實(shí)數(shù)a 、b、c滿足條件3a+2b+C=4，2a+b+3c=5

設(shè)s=5a+4b+7c，求s的最大值與最小值

解： { 解得 {

把a(bǔ)、b的值代人s=5a+4b+7c得s=10c+2，由于a、b的非負(fù)性得1≤c≤

因?yàn)橐淮魏瘮?shù)s=10c+2是增函數(shù)，所以當(dāng)c=時(shí)S最大=14，當(dāng)c=1時(shí)S最小=12

三、對分式的分子進(jìn)行降冪化簡求最值

例3.求分式的最小值

解 原式=

因?yàn)?=+2，所以當(dāng)x=1時(shí)有最小值2，

于是有最大值，從而原式有最小值

四、用一元二次方程根的判別式求最值

例4.當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，求分式的最大值與最小值

解 設(shè)y=，因?yàn)椤?

所以把函數(shù)y=去分母并整理得到關(guān)于x的一元二次方程得

因?yàn)閤為實(shí)數(shù)，所以△≥0，所以

所以

于是

解得-4≤y≤1， 所以 y最小=-4，y最大=1

五、用絕對值的意義求最值

例5.求的最小值

解 式子的幾何意義就是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)-1、、的三點(diǎn)A、B、C的距離之和，由絕對值的意義知，只要在數(shù)軸上找一點(diǎn)，使得這一點(diǎn)（B點(diǎn)）到 A、B、C三點(diǎn)的距離之和最小，如圖所示，

所以當(dāng)時(shí)，y最小=

六、用完全平方式的非負(fù)性求最值

例6.已知x、y、z都是實(shí)數(shù)，且x2+y2+z2=1，求xy+yz+zx的最值。

解 因?yàn)椋▁+y+z）2= x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

而（x+y+z）2≥0 （是完全平方式的非負(fù)性），

故x2+y2+z2+2（xy+yz+zx）≥0

于是1+2（xy+yz+zx）≥0 ，所以xy+yz+zx≥-

故xy+yz+zx 的最小值為-

又由（x-y）2+（y-z）2+（z-x）2≥0 得2（x2+y2+z2）-2（xy+yz+zx） ≥0

所以xy+yz+zx≤1 （當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=時(shí)等號成立）

所以xy+yz+zx的最大值為1