巧譜厚重課堂三部曲

張紅娜 河南省許昌市普通教育教學研究室小學數學教研員，中學高級教師；許昌市專業技術拔尖人才，“巾幗建功”標兵，“三八紅旗手”；河南省中小學教師教育專家，學科帶頭人，推進素質教育“百名名師”之一，優秀教研員；中國教育學會小學數學教學專業委員會先進工作者，課程教材研究所小學數學課程教材研究開發中心優秀教研員。

工作中始終堅持“以研導教、以教促研”的教研宗旨，逐漸形成了“嚴謹、求實、厚重、靈動”的教研風格。執教的課先后在省、國家級賽課中獲得一等獎；主持的課題有三項獲得省級科研成果一等獎，一項獲國家級“十一五”重點課題成果一等獎，目前正在進行河南省教育科學“十二五”規劃重點課題《小學數學厚重課堂的探索與實踐》的研究；撰寫的文章有10多篇在省級以上評比中獲獎，30多篇在省級以上專業學術期刊上發表；輔導的青年教師有20多人次在省級以上教學評比中獲得一等獎。先后參與多種教輔資料的編寫工作，多次應邀參加全國學術交流活動，并作課、評課，受到好評。

“教學有法，但無定法，貴在得法。”細細品味古人有關教育的這番言論，再次為其中的教育至理及前人的教育智慧所折服。數學教學說到底，就是要解決這樣三個問題：“是什么？”“為什么？”“什么用？”解決這些問題的過程中，選擇什么樣的教學策略，如何實施，并非千課一法，要依據教學內容和學生學情而定。即好的教學“但無定法，貴在得法”。

《三角形的內角和》是小學數學中基本且重要的教學內容之一，也是老師們賽課或公開課教學爭相選擇的教學內容。作為教研人員，我看了很多青年教師對這節課“大同小異”的演繹，通過對他們的課堂進行多角度的剖析與反思，我有了新的教學“靈感”，于是，便走進我的“厚重課堂”，用心譜寫出了《三角形的內角和》教學的三部曲。

一、“是什么”——不必遮面直接現

“三角形的內角和是180°”，這是三角形的內角和定理，也是三角形的一個重要性質。作為一個固定的數據和重要的數學結論，多數學生課前通過不同的學習渠道應該都有所了解。但老師們在設計教學時，總是愿意先給它蒙上神秘的面紗，然后再通過“猜想—驗證”等學習活動逐層揭開。于是，課前便產生了“學生萬一一開始就說出來了怎么辦”的擔憂。課上，有的老師對個別學生的“一時沖動”給予搪塞——“你知道的可真多”，有的老師對學生的“不請自答”給予嚴厲的眼神——“你發言舉手了嗎”，有的老師對學生高舉的小手以手勢示意——“請你們先把手放下來”……總之，他們不想讓學生打亂了自己“千呼萬喚始出來”的教學預設，想讓學生產生“三角形的內角和是180°”是我們發現的這一自豪感。

誠然，老師們的想法符合新課程理念——讓學生充分經歷數學知識的產生、發展和形成過程，進而培養學生良好的數學情感。但我認為，教學方法的選擇和使用一定要視內容和學情而定，其中對學生充分的研讀尤為重要。“三角形的內角和是180°”多數學生課前已經知道，既然如此，我們的教學就不必遮遮掩掩，而應該以學定教、順學而導。下面是我的教學處理：

黑板上事先由上而下出示如下三種三角形（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）：

師：同學們，這是我們認識過的三角形，通過學習，我們知道：三角形都有三個角，這三個角都叫作三角形的“內角”。根據內角的特點，我們可以把三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。認真觀察這三類三角形，它們的內角有什么相同點和不同點？

生：相同點是都有兩個銳角，不同點是最大的角分別是銳角、直角、鈍角。

師：為什么銳角三角形中有三個銳角，而直角三角形中只有一個直角、鈍角三角形中只有一個鈍角？還有，雖然每種三角形中較小的兩個角都是銳角，這兩個銳角之和一樣嗎？

部分學生高舉小手急著發言：老師，我知道！我知道！

師：哦，這么多同學都知道啊！這些問題其實都跟三角形的內角和有關，是嗎？（板書課題）

生：是！

師：三角形的內角和是一個固定的值，你們知道是多少嗎？

部分學生：是180°！

師：說得對！（師隨即板書結論）為什么是180°，你知道嗎？

學情是教學的重要依據，課前了解學生的知識基礎和認知經驗，我們就能準確地選擇和把握教學的起點。這第一部曲就是依據學生已掌握的三角形的分類、內角特點等知識，創設了一個引導學生開門見山的學習情境，使學生上課伊始就知道本節課要學習的知識，同時帶著疑問思考：為什么三角形的內角和是180°呢？

二、“為什么”——“轉軸撥弦三兩聲”

“三角形的內角和為什么是180°？”中學數學中有嚴格的證明。作為小學生，雖然不能“證明”，但完全可以通過力所能及的方式來進行初步的“驗證”，而這最能夠體現新課標的要求。作為教師，我們應該如何讓學生在能力允許的范圍內“知其所以然”？教學該怎樣“基于學生”“服務于學生”，又“誘發于學生”呢？

帶著上述思考，我這樣處理了這一教學環節：

師指板書問：三角形的內角和是180°，看到這個度數，你馬上會想到我們認識的什么角？

生：平角。

師：也難怪，平角的度數也是180°。（師隨即在黑板上畫出一個平角）

師：知道了三角形的內角和是180°，我們的學習才剛剛開始，因為我們不能僅僅知道數學知識“是什么”，還要弄清楚——

生搶答：“為什么！”

師：看來，你們都是會學習的孩子，是學習的有心人！現在，你們一定最想知道，三角形的內角和為什么是180°？為什么和平角的度數是一樣的？我猜得對嗎？

生一致同意：對！

師：那你們自己有什么辦法能搞個明白呢？

（生開始若有所思）

稍后，師提出：誰有好辦法愿意推薦給大家？

多數學生：量一量三個內角的度數，再加起來看和是不是180°。

一生補充：直角三角形就不用量三個角了，只要量兩個銳角就可以了。

師：除了量，還有別的方法嗎？

只有一個學生拿出直角三角形示意：可以把兩個銳角折到直角處，正好能拼成90°，三個角合起來就是180°。

師順勢問：好方法！直角三角形能這樣驗證，其余兩種三角形能嗎？

多數學生搖頭。

看學生說不出更好的方法，我便放手讓學生自主探究。

師：剛才，大家相互交流了自己的方法，其實，課本中也給大家介紹了一些好方法，你們也可以去學習和借鑒。下面，就請你們選擇其中的方法對手中的任意三角形的內角和進行驗證。

（學生或測量或折拼，或獨做或合作，自主學習真實、扎實。）

師組織學生交流：剛才的學習中，哪些同學用的是“測量”的方法？你們的結果怎么樣？

（多數學生為180°，少數學生為170°、181°、178°、190°等）

師指板書結果問：三角形的內角和明明是180°，為什么他們的結果不是？誰來解釋給他們幾個聽？

生爭相解釋：肯定是測量時沒量準！說不定是讀數時，把量角器上的刻度讀反了。是不是加的時候算錯了？他們剪的三角形肯定不標準，邊不直！測量時有誤差，不會那么準確。離180°接近的還好說，是因為誤差，差得遠的肯定是不認真……

（看學生如此“幫我解圍”，我真慶幸這個皮球“踢”得值！）

師：除了測量，有用別的方法驗證的嗎？

（生分別用他們手中的學具，到前面演示了“折拼”“撕拼”等方法。）

師：看來，向書本學習，也是一種好辦法！把每種三角形的三個內角拼在一起，都正好能組成一個平角！難怪，它們的和是180°！數學，真有說不出的神奇！

師：“三角形的內角和是180°”，這是三角形的一個重要性質，今天我們只是用自己想到或學到的實驗的方法，對有限個三角形的內角和進行了初步驗證。這個結論對所有的三角形都成立嗎？這需要更嚴密的證明，以后進入中學，你們就能學習到這種證明方法，讓我們一起期待今后更有意義的數學學習，好嗎？

如果認真研讀學生就會發現，多數學生對結論的驗證方法僅限于“測量”，至于“折拼”或“撕拼”等方法，則離學生的實際思維還有一定的距離，嚴密的證明則距離更遠。這第二部曲就是創設了一個讓學生自主探究的學習環境，除了讓學生根據已有的經驗，用測量的方法驗證三角形的內角和是180°外，還特別注意引導學生向書本學習，也就是引導學生學習前人的間接經驗，用“折拼”或“撕拼”的方法來驗證，同時逐步培養學生閱讀數學課本的好習慣。至此，“為什么”的教學告一段落，它使學生明白，這是實驗幾何的結束，是論證幾何的開始。

三、“什么用”——“此時無聲勝有聲”

怎樣用“三角形的內角和是180°”解決具體問題，這也是教學的重點。但多數教師的課堂因為前面“驗證”費時，至此便一帶而過，草草收場。他們認為之所以確定“此處為略”，除了時間不夠外，更多的原因是教材中所要解決的問題都很簡單，教師沒啥可講，學生完全可以課后進行。

而我卻認為，我們真的應該在此環節“做做文章”。我的教學是：

師：通過剛才的學習，我們不僅知道了“是什么”，而且知道了“為什么”，接下來，我們要認真來關注，學習三角形的內角和“有什么用”？

師指著課始出示的三個三角形，提出問題：

你能告訴大家，為什么銳角三角形中有三個銳角，而直角三角形中只有一個直角、鈍角三角形中只有一個鈍角嗎？

（生答略）

每種三角形中較小的兩個銳角合起來比，和一樣嗎？

生：直角三角形中兩個銳角的和正好等于90°，銳角三角形中兩銳角之和大于90°，鈍角三角形中兩銳角之和小于90°。

師：如果告訴三角形其中兩個內角的度數，你能知道第三個角的度數嗎？

（以其中的銳角三角形和鈍角三角形為例，處理過程略去）

師追問：在直角三角形中，想知道第三個角的度數，需要告訴你幾個角的度數？

生通過爭論達成共識：直角的度數已知，只需要告訴一個未知角就可以求另一個未知角了。

師：其實，我們知道，三角形除了按角的特點分類，還可以按邊的特點分類，想想看，按邊可以怎么分？

生：可以分為等腰三角形和等邊三角形。

師糾正：根據三角形中邊是否相等，可以把三角形分為“不等邊三角形”和“等腰三角形”兩類，而“等邊三角形”屬于特殊的等腰三角形（師隨即在相應位置板書）。

其實，剛才黑板上的三個三角形都屬于“不等邊三角形”。

師：通過剛才的學習我們發現，在不等邊三角形中，除直角三角形外，知道兩個角的度數，才能求出第三個角的度數。那等腰三角形中呢？（師出示一個等腰銳角三角形）

生：正好相反，只告訴一個角的度數，就可以知道其余兩個角的度數是多少？

師追問：如果是等腰直角三角形呢？

生思考后頓悟：每個角的度數我們都知道。

師：等腰直角三角形它的三個角的度數是確定的，我們常用的三角板中就有這樣的三角形。

師：還有一個最特殊的等腰三角形，（出示等邊三角形）它的每個角是多少度呢？

生：都是60°！180°÷3。

師：如果按角分，它應該屬于哪種三角形呢？

生：銳角三角形。

師引導學生感悟：

在應用三角形的內角和解決實際問題的過程中，要依據三角形的特點靈活選擇簡便的方法。

雖然三角形的分類標準不同，分得的結果也不一樣，但它們之間還是有著非常緊密的聯系！

最后，師拓展：其實，三角形的內角和還可以幫助你們去發現四邊形、五邊形等其他多邊形的內角和，請同學們課后進一步去感受它的作用和神奇魅力！

學習的最終目的是應用，即“學以致用”。而“應用”又非單一的鞏固和練習，它需要舉一反三、觸類旁通，最終達到“用實”“用活”“用透”的學習效果。這第三部曲就為學生創設了一系列有價值的問題解決情境，把所學知識置于相關知識體系中，由近及遠、由一般到特殊、由基礎到靈活、由部分到整體、由單一到聯系，學生在應用中體悟著數學的價值，感受著數學的魅力。

[本文為河南教育科學“十二五”規劃2011年度重點課題“小學數學‘厚重課堂的探索與實踐。課題編號：[2011]-JKGHBB-0716]?