數形結合方法在高中數學教學中的運用

張程

摘 要：在高中數學中，數形結合是一種常用的行之有效的解題方法，它是直觀思維與抽象思維相結合的產物。數形結合的解題方法可大大節省解題的時間，提高解題的準確性，尤其是用在高考的選擇和填空題中更是屢試不爽，故此方法受到老師和學生的青睞。文章通過對數形結合方法及其在教學過程中的實際應用進行研究與分析，使這種方法能夠更多地運用到解題中去。

關鍵詞：數學；數形結合思想；教學實踐

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）06-193-02

數學的本質是數與形的有機統一，對于數與形的關系，著名的數學家華羅庚曾作出這樣的解釋：數形結合百般好，隔裂分家萬事非。可見數與形之間的轉化是數形結合解決實際問題的關鍵。數字是抽象的符號信息，圖形是直觀的感性信息。數字與圖形的轉化實際就是感性認識與理性認識依據內在的數學邏輯進行轉化，也就是代數與幾何相結合。數形結合是研究與學習數學必不可少的方法，靈活地運用數形結合可在解決數學問題時化繁為簡，解決諸多的數學問題。

一、數形結合思想實際教學中的運用

1、求解函數的值域

在實際的數學教學中，利用數形結合思想可解決諸多的函數值域問題。

例1：求函數y= + 的值域。

分析：上述函數可轉化為絕對值形式，即y=|x-2|+|x+8|可看做點A（a，0）到定點B（0，2）與定點C（-8，0）之間的距離之和。如圖所示：

當點A位于點B與點C之間時，點A到點B與點C的距離為一定值10；當點A位于點C左側或點B右側時，點A到點B與點C之和大于10。本題若對數字進行抽象的分析進行解題是很難的，但若對數字進行轉化，看圖說話，就容易的多了，故題中函數的值域為y≥10。

小結：在利用數形結合的方法解決實際問題是應對實際問題進行簡單的分析與轉化，并不是所有的求值域問題都可用此方法，要具體問題具體分析。

2、求解方程

例2：方程 =2x的解的個數是（ ）

A.3 B.2 C.1 D.0

分析：由題可以直觀的看出，當x=2時，上述方程是成立的，所以答案是C，但是仔細分析的話會發現這是錯誤的。解題關鍵在于根據所給方程將其看作兩個函數，即設 = ， = ，由此作圖找到兩個方程的交點個數即為此方程的解的個數，如圖所示：

由圖中可以清楚地看到兩個函數的交點個數。

小結：利用數形結合的方法求解方程解的個數屢見不鮮且行之有效，關鍵是要學會找特殊點，本題若用數字代入進行計算也是可以的，但是用數字計算即浪費時間準確性也不高，在實際中要學會運用該方法求解方程問題。

3、求解不等式

例3：解關于x的不等式：|x|≥

分析：此題需對a進行分情況討論，需運用數形結合的方法，若用數字進行運算的話，易混淆，若用數形結合則很容易得到答案。首先對a進行分情況討論，

（1）當a=0時，解集為（-∞，0）∪（0，+∞）

（2）當a>0時，解集為（ ，+∞）

（3）當a<0時，解集為（-∞，- ）

小結：用數形結合的方法構造出兩個緊密相關的圖象，并且利用圖象進行分析，是解決此類問題的常用方法。

二、如何在數學學習中培養學生的數形結合思想

1、學會數與形之間的轉化

求解數學問題時，學生經常忽略數與形之間的轉化，而這一環節卻恰恰是解決問題的關鍵環節，在實際的教學中，通過對典型題型的分析達到可以舉一反三的目的，由解決一個問題達到解決一類問題的目的。例如：若不等式-2≤ -2ax+6≤2恰有一個解，求實數a的值。此題如果用解不等式的方法來解的話就會特別麻煩且易出錯，如果結合二次函數來求解的話就很容易解決，畫圖就可知a=2或者a=-2，解題就會輕松很多。再如例1中求解函數的值域問題，如果不將函數進行轉化，只是進行單純的計算數值的話就需要先去掉根式，需要對根式進行分情況討論，無形之間就增加了解題的難度，這是不可取的。

2、形成數形結合思想

目前，學生學習數學時存在的最大的問題就是易在解決問題時形成思維定勢，即易將簡單的問題復雜化，其中很大一部分是缺乏數與形相結合解決問題的思想導致的。學生在解決問題時往往對數字比較敏感，慣用數字之間的聯系來解決問題，這是不可取的。在高中數學教學中要經常運用數形結合的方法來解決問題，使學生遇到問題時，能夠有數形結合的意識，進而形成數形結合的思想。如已知 + +2X=0，求 -2X+1+ +2Y+1的最小值。解這個題時，如果只運用數字來進行運算的話就需對第一個方程式中的參數求解，然后求第二個函數的最小值，學生運用此方法解題往往會顧此失彼得不到準確地答案，若用數形結合的方式將這兩個方程在同一坐標系呈現的話，就很容易得出正確的答案。

3、在實際解題中加以運用

數形結合的思想只有運用到實踐當中去才能發揮其最大價值，所以這一思想主要是在解題中實踐，教師在教學過程中要注重理論與實踐相結合，運用經典的練習讓學生熟練地掌握此方法并靈活地運用，學生在課后要通過不斷地練習，切實達到學以致用的程度，通過仔細的分析對比，將題型與解法一一對應，真正地掌握數形結合法。

通過以上分析可知，數形結合方法在高中數學教學中是一種簡便易行的方法，數形結合方法的關鍵是形成數形結合意識并能夠準確地根據題意準確地做出圖像，在實際的教學中需運用大量的典型的例題來培養學生的數形結合意識，引導學生使學生對這種方法產生興趣，進而樂于去探討去研究去運用，并能夠根據具體的題型熟練地運用，真正的理解運用，而不是機械的加以模仿，使數字與圖像能夠真正的結合在一起，從而提高解題的速度，減少解題時間，讓學生體會到學習數學的樂趣。

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