魅力點子圖

張曉霞

摘 要：阿拉伯數字的發明，使我們記錄和計算更加方便，然而在表現一些數的特征方面，點子圖更加直觀。點子圖讓數學帶著其精練、思辨、冷靜的迷人魅力的歷史中走來，在這濃濃的數學味道里，學生開始了對數的發現之旅。如人教版數學教材一年級上冊 “1～5的認識和加減法”中，對1～5各數的認識是按照“主題圖——點子圖——抽象出數”的順序進行編排的。這種編排體現了小學生“直觀感知——建立表象——抽象概括”的認知規律，而點子圖在學生思維由直觀提升到抽象的過程中起著重要的中介作用。

關鍵詞：數學活動經驗；抽象概括；點子圖；認知規律；

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）06-301-01

阿拉伯數字的發明，使我們記錄和計算更加方便，然而在表現一些數的特征方面，點子圖更加直觀；2000多年前，希臘數學家利用點陣圖形研究數。短短兩句話，數學帶著其精練、思辨、冷靜的迷人魅力從厚重、光輝的歷史中走來，在這濃濃的數學味道里，學生開始了對數的發現之旅。在實際教學中教材是這樣處理的：

一、利用點子圖感知數的順序

【案例1】人教版數學教材一年級上冊 “1～5的認識和加減法”

1.擺圓片（逐次感知1～5的順序）。

學生先擺1個圓片，再擺1個是幾？這個2是怎么得來的？再擺1個得到幾個？依次感知3、4、5的來源。

2.整體感知。

（1）出示點子圖，你來給它們5個排排隊。

（2）擺好后提問：“5的前面一個數是幾？”，“3的前面一個數和后面一個數各是幾？”同桌間互問互答。

對于剛入學的小學生來說，需要把這些抽象的數學概念變成學生看得見的“數學事實——點子圖”，采用直觀、形象、生動的教學方法深入淺出地教學，就能卓有成效地幫助學生建立起這些抽象的概念。同時在這一系列的活動中，創新意識、探索能力和情感得到了和諧發展。

二、利用點子圖感知數與算式的聯系

到了二年小朋友開始學習乘法，在“有多少個點子”這一課就是充分利用了點子圖來說明同樣的乘法算式可以有兩種不同的方法排列物體的個數，讓數學概念的學習從虛幻的想象變得看得見，摸得著。

【案例2】

師：仔細看圖，說說你看懂了什么，和大家交流一下。

生1：淘氣第一次擺的點子是每行2個，共3行，2+2+2=6。笑笑說用乘法

算式是2×3=6或3×2=6。

生2：淘氣第二次擺的點子圖上是每列4個，共5列，4+4+4+4+4=20。淘氣說用乘法算式是4×5=20或5×4=20。

師：你覺得淘氣第一次擺的點子圖還可以怎樣說？相同加數是幾？有幾個相同的加數？

生：每列3個，有2列，3+3=6，相同加數是3，有2個3；乘法算式是3×2=6或2×3=6。

師：現在老師想同學們在點子圖上表示出乘法算式4×7。

師：你是怎么擺的？誰愿意說給大家聽聽？

生1：我露出了7行，4列。就是每行有4個，7行就是7個4，所以4×7。

生2：我露出了4行，7列。就是每行有7個，4行就是4個7，也是4×7。

在小學乘法教學中注重學生的生活經驗，密切聯系實際生活，強調在解決現實問題的過程中，讓學生體會經歷抽象數學模型并進行解釋和應用的過程，從中獲得對乘法意義的感悟，體會乘法知識的發生、發展過程。教材給出了最為普通的長方形點子圖，通過對其規律的探究，利用點子圖建立起數與算式之間的聯系。數學知識源于生活，并最終服務于生活，尤其是小學數學，在生活中都能找到其原型。

三、利用點陣感知數與形的聯系

到了高段開始學習利用點陣來學習數與形之間的聯系。

【案例3】《點陣中的規律》

（1）一探

“圖中有幾個點陣，每個點陣各有幾個點？”“怎么數得這樣快？有竅門嗎？”

生1：“我是用算式算出來的。”

第1個 1×1=1

第2個 2×2=4

第3個 3×3=9

第4個 4×4=16

（一個“算”字，使學生的思維順利實現了由形到數的第一次轉換。）

師：“這種數法真是又快又方便！照這樣下去，第五個點陣有多少個點呢？第六個呢？第七個？八個？……第100個呢？”

師：那第n個點陣呢？你們能畫出第五個點陣嗎？

（這個畫點陣的過程雖然簡單，但體現了由數到形的轉換。培養了學生主動進行數形轉換的意識。）

（2）二探

“斜著看又可以得到什么新的算式呢？

第1個： 1=1

第2個： 1+2+1=4

第3個： 1+2+3+2+1=9

第4個： 1+2+3+4+3+2+1=16

數形結合是數學解題中常用的思想方法。“點陣中的規律”這一課特別適宜于學生充分感受“數形結合”的思想魅力。在正方形點陣的研究中，教材從三種不同的角度引導學生觀察點陣，列出不同的算式，發現不同的規律，從得出像1、4、9、16……這樣一組數所具備的三種不同特點。這組數既可以看作為一組連續的完全平方數，也可以看作是幾個連續奇數相加，還可以看作是從1連續加到幾，再加回到1。這是一個從形到數的過程。教材在學生概括規律，歸納推理出下一個點陣的點數后，又讓學生畫出這個點陣圖，這是一個從數到形的過程。充分體現了“數形結合，數形轉化”的思想方法。

參考文獻：

[1] 新課程實施過程中培訓問題研究課題組編.《新課程理念與創新》.北京師范大出版社.2001.

[2] 周玉仁主編.《小學數學教學論》.中國人民大學出版社.1999.

[3] 張奠宙.《數學教育研究導引》.江蘇教育出版社.1998.