消元法與矩陣初等行變換比較教學探究明

黃黎

摘 要 通過將方程組與

矩陣、方程與行的比較，由方程組的消元法得出矩陣的初等行變換，而線性代數中大多數情況下實施初等行變換可以解決所遇到的問題。從舊知識中發現新的觀點，來適應計算機時代的發展。

關鍵詞 方程組 矩陣 消元法 初等行變換

中圖分類號：O151.21 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）13-0001-02

線性方程組的消元法思想貫穿于整個線性代數的教學過程中。由于很多教材在安排的過程中將矩陣內容安排在第二章，矩陣的初等變換與線性方程組安排在第三章，同時先講矩陣的初等變換，后講解線性方程組。這樣的安排很難突出消元法的重要地位以及方程組的矩陣寫法。

經過多年的教學實踐，我們直接引入線性方程組的消元法并將方程組寫成矩陣的形式。此時再通過形式上來比較消元法與矩陣的初等變換，就不難發現它們兩者之間的關系：對象不同，思想一樣。為了突出消元法的思想，以一個簡單的二元一次方程組為例，這樣可以避免兩個問題：1.學生將解方程組的重心放在數的處理上面；2.避免使用字母所來的抽象運算問題。

一、中學求解二元一次方程組所用消元法及優缺點分析

我們以一個簡單的二元一次方程組為例講解。

第一步：將 乘以再減去 得：= ；第二步：再將 式兩邊同時除以得：y=1；第三步：再將 回代到 得到。于是此方程組的解為。

中學所教的這種消元法的寫法好處：

（1）書寫比較簡潔，適合人工計算；

（2）每次只針對一個方程，計算時注意力可以更加集中。

缺點：

（1）追求簡潔的同時，沒能很好表現出解方程組過程的通解性；

（2）在求解過程中，使用計算方法比較多（加法、減法、乘法以及回代），文字敘述過多；

（3）沒能體現出方程組的解與字母的關系，同時標號需要不斷地變化。

二、大學所講的高斯消元法優缺點

第一步：交換 兩行得；第二步：將 €祝？2）+ 得 ；第三步：將②€祝ǎ┑玫謁牟劍航趢祝ǎ？①。

大學所講的消元法的優點：

（1）保證每次消元后方程組的個數沒有減少（直覺），隱含通解變換；

（2）使用的標號只起到標示行數的目的；

（3）包含了消元法所有的思想；

大學所講的消元法的缺點：

（1）書寫較為繁瑣；

（2）未知數個數在方程上有所減少。

三、直觀的體現矩陣特點的寫法

將2中的第二步寫成 ，將第三步寫成 ，將第四步寫成 ，那么在整個運算過程中，保證了未知數的個數永遠都沒有變化，變化的只是在每個位置上的數字。由此我們可以擺脫未知數只在乎數字所在的位置，將含有未知數的表達式寫出加法，于是可以將方程組寫成以下形式：

由此矩陣的雛形也就很明顯了，矩陣就是一張簡化的二維表格（這對學生有相當的震撼），在簡化掉方格，簡化掉文字后就變成了。

四、大學所用高斯消元法變換思想到矩陣初等行變換的轉換

由3中解方程組所采用的方法歸納出來也就是：

（1）交換兩個方程的位置，方程組的解不變；

（2）將一個方程乘以一個系數加到另一個方程組上去，方程組的解不變；

（3）方程組的兩邊同時乘以一個系數，方程組的解不變。

由上面我們講方程組的形式寫成矩陣的形式，那么矩陣的初等行變換很自然的就可以得出，只需要將方程換成行來說就可以了，于是矩陣的初等行變換就是：

（1）交換兩行；

（2）將一行乘以一個系數加到另外一行；

（3）將一行的兩邊同時乘以一個系數。

五、總結

將方程組與矩陣對應起來，將方程與行對應起來，將方程組的消元法與矩陣的初等行變換對應起來，那么很自然的將以前的知識與現在的知識緊密地結合在一起。如果說以前的方法適合于手工計算的話，那么進入信息時代，從矩陣的角度來看待方程組更有利于實現計算機的計算模式。我們的教學也需要仔細琢磨，從以人為思考的角度轉向以計算機思考的角度，畢竟計算機與人比起來更機械，卻也更高效。

參考文獻：

[1]林群，田載今，薛彬等.數學（七年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2012：92-118.

[2]同濟大學數學系.線性代數（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007，（5）.

[3]文傳軍，許定亮，華婷.高斯消元五步驟法[J].江蘇：常州工學院學報，2012，（6）.

[4]方文波.線性方程組的矩陣求解算法[J].合肥：大學數學，2004，（5）.

基金項目：貴州省教育廳青年基金項目（黔教科201055）

（責任編輯 曾 卉）