高中數學“數列與差分”教學研究

張彥文內蒙古赤峰市克什克騰旗職業技術教育中心學校

高中數學“數列與差分”教學研究

張彥文
內蒙古赤峰市克什克騰旗職業技術教育中心學校

摘要：在高中數學教學過程中，數列與差分方面的知識學習時，僅憑學生的一腔熱情、積極性是不夠的，更重要的是完整、高效的學習方法和教學體系，因此對高中數學老師提出了更高的要求。本文將對高中數學數列與差分教學方法進行研究，以供參考。

關鍵詞：高中數學；數列與差分；教學；研究

在高中數學教學過程中，其難點在于難以統一學生的學習水平，即高中階段的數學教學實踐中，代課老師無法完全了解和把握學生們的學生的接受和學習能力。實踐中，因每一個學生的自身條件、學習興趣程度等，都存在著一定的差別，所以選擇的數學方法差異性也就會非常的大。本文就高中數學教學過程中的“數列和差分”教學，提出以下措施。

1、數列與差分概述

第一，差分定義。對于差分而言，較之于數列而言，第n+1項、第n項之間的差是多少？可用an=an+1-an這一公式，對第n項的差分進行表示；通常將數列中后一項、前一項之間的差值，稱為是差分。比如，an=an+1-an所代表的是數列第n項的一階差分。差分表示2an上的數字2，則代表的是差分次數，這里所講的差分說明是2次，即差分算子利用了兩次。在每一次差分運算完成后，便會形成一個新的差分數列，兩次之后便形成了{2an}，以此類推，即可對三階、四階差分進行定義。

第二，數列與差分通項之間的關系。在研究二者通項關系時，通過舉例方式進行辨識。比如，數列{an} = {2，3，4，5，6}時，則其一階差分（Δan）即為{1，2，3，4}。通過一階差分構成一個新的數列，而且其項數應當比前面的數列少一項。若為常數列，則數列的一階差分項數均為0；數列{an} = {-1，3，7，11，15，19}時，則其一階差分（Δan）即為{4，4，4，4，4 }，即常數列；數列通項an=4n-5，代表的是線性函數。由此也可以得出一個結論，即一次線性函數的一階差分為常數列。數列{an} = {3，3，5，9，15，23}時，一階差分（Δan）為{0，2，4，6，8}；二階差分（Δ2an）為{2，2，2，2}，即為常數列，其通項an= n2-3n+5（二次函數）。由此可見，當{an}是利用二次函數進行定義時，二階差分即為常數列；當數列{an} = {3，9，27，81，243，729，2187}時，一階差分（Δan）為{6，18，54，162，486，1458}、二階差分（Δ2an）= {12，36，108，324，972}，均非常數列，但均為公比等于3的等比數列。由此可以得到一個結論，數列{an}由指數函數定義時，一階差分、二階差分，均以該指數函數底數作為公比，構成一個等比數列。就差分與數列之間的關系而言，一階差分描述的是數列增減和數列極值，二階差分則是對數列圖形凸凹形狀進行描述。

2、高中數學中的數列與差分教學實踐

為了對高中階段的數列與差分教學問題進行研究，本文以待定系數法求解差分方程為例，進行具體的分析。實踐中，對待定系數法求解差分方程、求解常微分方程進行對比可知，其在求解非齊次線性差分方程過程中應用效果非常的好。利用待定系數法對差分方程進行求解，主要是基于方程具體特點，假設一般模式方程，并且根據其中的具體條件，找特定解代入方程求出系數。

第一，當K≠1時，可用xn+1=kxn+b代表一階非齊次差分方程，其特解xn=A，其中A代表的是待定系數；將xn=A代入上式，即A= kA+b，A=b/（1-k），由此可得xn=b/（1-k），一階非齊次差分方程求解可得xn=knc+ b/（1-k），（其中c可以是任意一個常數）。

第二，當k=1時，xn+1=xn+b的一階差分是一個常數，設xn=An之特解，然后代入上式，原方程為A（n+1）=An+b，即A=b，xn=bn，其通解是xn=knc+ bn=c+bn（其中c可以是任意一個常數）。

比如，某教室是用來做物理實驗室的，在安排座位時，每后一排均比前排座位數量多出2個，已知首排的座位數量為30，問題：如果用yn來表示教室內的第n排座位數量，那么求yn+1、yn的表達式；求第9排共有幾個座位？若用Sn代表第n排之前的所有座位數量，Sn+1、Sn代表的意思是什么：關系表示又是怎么樣的？若教室內共有二十排座位，求一共可容納多少人？解：yn+1=yn+2（n=1，2…）；由已知可得，k=1，b=2，yn=2n+c，其中c為任意一個常數，因為y1=30，帶入上式可得c=28，yn=2n+28，y9=46；Sn+1=Sn+ yn+1= Sn+2（n+1）+28，Sn+1= Sn+30（n=1，2…）；由Sn+1-Sn= 2n+ 30，數列Sn一階差分可知，Sn的表達式為二次函數，將二次函數設為Sn=An2+Bn+C，Sn= A（n+1）2+B（n+1）+C=2An+A+B=2n+30，即A=1，B=29，y1=30=S1，30=A+B+C，即Sn=n2+29n（n=1，2…），最后可得S20=980.

結語：

總而言之，高中數學教學過程中的數列與差分定義、意義需要與實際相結合，用數圖結合方式來表示，從而為學生們展現高中數學中的“數列與差分”用法，只有這樣才能提高教學質量和效率。

參考文獻：

[1]李昌官.高中數學“導研式教學”研究與實踐[J].課程、教材、教法，2013（02）.

[2]朱洪軍.高中“數列與差分”專題采用的教學方式[J].素質教育-綜合版，2014（09）.