導數在不等式證明中的應用

劉成明

摘要：江蘇省普通高中數學課程標準教學要求中明確指出要能利用導數研究函數的單調性，而利用導數研究函數單調性，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式證明中的一個難點。解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性及最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵。

關鍵詞：函數；導數；不等式；單調性

中圖分類號：G427文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）09-093-2

在江蘇省新課標中新增加了正余弦函數、指對數函數等初等函數的導數，因此考察的知識面加寬了很多，例如導數可以和數列、三角、向量、不等式、解析幾何等內容相互交融，進而衍生出很多綜合性的題目.在這里，筆者對導數與不等式相結合的問題進行了探究：

一、直接作差構造函數證明

例1已知定義在正實數集上的函數f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a>0.設兩曲線f（x），g（x）有公共點，且在該點處的切線相同.

（1）用a表示b，并求b的最大值；

（2）求證：f（x）≥g（x）（x>0）.

解析：（1）公共點為（a，52a2），b=52a2-3a2lna（具體略）

（2）設F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2lnx-b（x>0）

則F′（x）=x+2a-3a2x=（x-a）（x+3a）x（x>0）.

故F（x）在（0，a）上為減函數，在（a，+∞）上為增函數.

于是函數F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=0.

故當x>0時，有f（x）-g（x）≥0，即x>0時，有f（x）≥g（x）.

本題求證的是f（x）≥g（x）（x>0），因此只需證明f（x）-g（x）≥0在x>0上恒成立即可，令F（x）=f（x）-g（x），然后利用導數研究新的函數F（x）的單調性，求出最值，進而證明出原命題成立.

二、導數是函數所特有的，沒有函數就構造函數

例2證明對任意的正整數n，不等式ln（1n+1）>1n2-1n3恒成立.

證明：令函數h（x）=x3-x2+ln（x+1），

則h′（x）=3x2-2x+1x+1=3x3+（x-1）2x+1

所以當x∈（0，+∞）時，h′（x）>0，所以函數h（x）在[0，+∞）上單調遞增，又h（0）=0，所以當x∈（0，+∞）時，恒有h（x）>h（0）=0，即ln（x+1）>x2-x3恒成立，對任意正整數n，取x=1n∈（0，+∞），則有ln（1n+1）>1n2-1n3，

所以結論成立.

本題的核心部分是構造新函數h（x）=x3-x2+ln（x+1），取x=1n∈（0，+∞），把本是定義在正整數集上的不等式轉化為定義在（0，+∞）上這一連續區間上的函數進行研究.從這一題我們便自然而然有了這樣的想法：數列問題中的不等式是不是有的也可以觸類旁通的去解決呢？請看下一題：

三、數列也是一類特殊的函數

例3已知分別以d1和d2為公差的等差數列{an}和{bn}滿足a1=18，b14=36，

（1）若d1=18，且存在正整數m，使得a2m=bm+14-45，求證：d2>108；

（2）若ak=bk=0，且數列a1，a2，…，ak，bk，bk+1，…，b14的前n項和Sn滿足S14=2Sk，求數列{an}和{bn}的通項公式；

（3）在（2）的條件下，令cn=aan，dn=abn，a>0，且a≠1，問不等式cndn+1≤cn+dn是否對一切正整數n恒成立？請說明理由.

解析：（1）、（2）略

（3）證明：由（2）知an=-2n+20，bn=9n-90，

令f（n）=（cn-1）（dn-1）=（a9n-90-1）（a20-2n-1）

再次換元將n-10換成x，則x∈[-9，+∞），

令g（x）=（a9x-1）（a-2x-1）=a7x-a9x-a-2x+1

所以g′（x）=7a7xlna-9a9xlna+2a-2xlna

=7a7xlna（1-a2x）+2a-2xlna（1-a11x）

當a>1時，lna>0，a7x>0，a-2x>0

當x∈[-9，0]時，1-a2x≥0，1-a11x≥0，此時g′（x）≥0，函數y=g（x）單調遞增；

當x∈（0，+∞]時，1-a2x<0，1-a11x<0，此時g′（x）<0，函數y=g（x）單調遞減；

所以當x∈[-9，+∞）時，g（x）max=g（0）=0，

即：x∈[-9，+∞）時，g（x）≤0恒成立，即f（n）=（cn-1）（dn-1）≤0恒成立，

即：cndn+1≤cn+dn對一切正整數n恒成立，

同理當0本題的做法是把n-10換成x，從而構造了一個特殊的函數g（x）=（a9x-1）（a-2x-1），這種做法不易想到，但是數列可以看做是一種特殊的函數，因此用函數的思想解決數列問題理所當然，用導數解決數列中的不等式問題也就在情理之中了.

四、主元思想構造函數

例4已知函數f（x）=12x2-2x，g（x）=logax（a>0，a≠1）.如果h（x）=f（x）+g（x）是增函數，且h′（x）存在零點（h′（x）為h（x）的導函數）.

（1）求a的值；

（2）設A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1證明：x1