SSA特例的幾點思考與收獲

朱國慶

設計理念

從意外獲得啟發，向學生提供了一個充分從事數學活動的機會.激發學生的學習動機，喚起求知欲，幫助他們在自主探索的過程中真正理解和掌握基本數學知識與技能，培養學生創新精神和實踐能力，享受學習的快樂.

教學流程

一、課前準備

作圖工具準備：直尺，三角尺，圓規，鉛筆，橡皮等

幾何知識準備：全等三角形的意義和性質，作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角等.

二、引入、新授、鞏固

教師：先請同學們在課堂練習本上用直尺隨意畫一個△ABC，不論邊的長短，不論角的大小.”

板書：作△A1B1C1，使得A1B1=AB，∠B1 = ∠B，B1C1 = BC.

這些對于學生來說并非一件難事.因為△ABC的形狀已經事先擺出，比起下一節的作三角形，難度降低不少.而作一條線段等于已知線段是七年級的內容，學生掌握良好；作一個角等于已知角，

學生甲的作法：作∠B1 = ∠B，作線段A1B1 = AB，B1C1 = BC.△A1B1C1就是所求作的三角形.

在完成鞏固練習之后，通過課內練習3強調SAS條件夾角的重要性.照舊要通過一個反例說明問題，然而出乎意料的是，原本平淡無奇的舉例因為兩名學生的意外圖形再度令整個教學異彩紛呈，滿室生輝.

三、反 例

如果兩個三角形有兩邊和一個角對應相等，這樣的兩個三角形一定全等嗎？

教師提示：SAS條件說，兩邊必須是夾這個角的兩邊，不然又會怎么樣呢？請同學們再來用尺規作△A1B1C1，使得∠B1 = ∠B，A1B1 = AB，C1A1 = CA.

板書：作△A1B1C1，使得∠B1 = ∠B，A1B1 = AB，C1A1 = CA.

學生乙的作法：作∠B1 = ∠B，A1B1 = AB.以A1為圓心，CA長為半徑作圓弧交∠B1的另一邊于C1，D1. △A1B1C1與△A1B1D1都是所求作的三角形.

教學反例的成功構造不僅要求學生對真命題本身能牢固掌握，而且要求有廣泛全面的思考問題能力，因此對大多數學生來說困難不小.正是由于學生對這兩種作圖的疑惑，讓我意識到對反例的說明不能如原先打算一般輕描淡寫，翩然收場，而是需要作進一步的深入.

四、特殊全等

SSA命題敘述：如果兩個三角形有兩邊和其中一組對應邊的對角對應相等，那么這樣的兩個三角形全等.

學生丙的作法：作∠B1 = ∠B，作線段B1A1 = BA.以A1為圓心，AC長為半徑作圓弧與∠B1的另一邊只相交于一點C1.△A1B1C1就是所求作的三角形.△A1B1C1 ≌ △ABC.

圓弧與∠B1的邊只產生一個交點（切點），完全緣于△ABC的特殊性.我讓學生觀察學生丙的圖形，并且提出了這樣一個要求：請同學們觀察思考∠ACB與∠A1C1B1的度數！

學生們發現這兩個角都是直角.

教師：這名同學非常聰明，想出了SSA的特殊全等條件.但是大多數同學的圖形中，圓弧與∠B1的邊都有兩個交點.因此符合作圖條件的三角形有兩個.請問得到的兩個三角形是不是都和全等呢？

學生：一個和△ABC全等，另一個和△ABC不全等.

教師：那么就請同學們回憶一下，三角形按內角大小可以分為哪幾種類型？

學生：銳角三角形，直角三角形和鈍角三角形.

教師：同學們已經知道SSA條件下的兩個三角形不一定全等.但是通過剛才的觀察，我們發現只要對兩個三角形的類型附加條件，它們就能全等.誰能來總結一下？

我分別請三種三角形的同學給出結論.

SSA全等方案1：如果兩個三角形都是銳角三角形（直角三角形，鈍角三角形），那么SSA成立.

學生丁的作法：作∠B1 = ∠B，作線段B1A1 = BA.以A1為圓心，AC長為半徑作圓弧與∠B1的另一邊交于C1，與∠B1的這一邊的反向延長線交于D1.只有△A1B1C1是所求作的三角形.△A1B1C1 ≌ △ABC.

同學們發現，作圖效果如學生乙的（圓弧與角的邊的兩個交點都在射線上） BA > AC，B1A1 > A1C1，作圖效果如學生丁的（圓弧與角的邊的交點分別在射線和射線的反向延長線上） BA < AC，B1A1 < A1C1.

SSA全等方案2：如果兩個三角形中這個角的對邊是兩邊中的較大邊，那么SSA成立.

教師：把△ABC中的∠B設計成直角和鈍角，然后按SSA的要求畫△A1B1C1……

學生戊的作法：作∠B1 = 90°，B1A1 = BA.以A1為圓心，AC長為半徑作圓弧交∠B1的另一邊于C1，交這一邊的反向延長線于D1.△A1B1C1和△A1B1D1都是所求作的三角形.

△A1B1C1 ≌ △ABC，△A1B1D1 ≌ △ABC.

SSA全等方案3：如果兩個三角形的這個對角都是直角，那么SSA成立.

這個方案相當于以后判定直角三角形全等的HL定理.

學生己的作法：作鈍角∠B1 = ∠B，作線段B1A1 = BA.以A1為圓心，AC長為半徑作圓弧與∠B1的另一邊交于C1，與∠B1的這一邊的反向延長線交于D1.△A1B1C1就是所求作的三角形.△A1B1C1 ≌ △ABC.