例談代數法解初中平面幾何計算題

宋鈺

平面幾何題是初中數學課程中要求學生們學習的重要內容，在幾何題的學習過程中對學生們的思維度有著很高的要求，而且初中平面幾何的學習是在為以后的立體幾何等內容打基礎，所以這就要求學生們在學習初中平面幾何的過程中能夠熟練掌握學習的方法與解法. 對于初中平面幾何中的題目學生在做題時要善于轉換思維與方法，在學習的過程中有很多的幾何題目都很難用平時直接的方法進行求解與證明，但是如果換用代數法進行求解就會非常方便，所以這就要求學生們在學習初中平面幾何的過程中熟練掌握代數法，在運用的過程中學生可以適當地借助一些輔助線等條件來完成所求內容，教師可以在不斷的練習中鍛煉學生的思維能力和解題邏輯能力，讓學生們在學習平面幾何的過程中學會用代數法巧妙解決平面幾何問題.

1. 用代數法解決有關三角形問題

三角形是初中平面幾何題目中出現頻率最高的圖形，教師在教學過程中對三角形的講解內容也非常多而且這一圖形中要求學生們記住和掌握的內容和性質也比較多. 例如有關三角形的相似問題，相似是學生們在學習三角形過程中的重要內容，學生們在解有關三角形相似的幾何題目中常常會出現沒有思緒的情況，在用一般的方法無法解決時，這就要求學生們換一種思維方式與解題方法來考慮問題，從另一個角度對所解題目進行求解，運用代數法將題目中的各種未知量設成未知數并作為已知條件使用，列出它們與已知量之間的數量關系和方程關系進行求解.

例 如圖在△ABC中，AD垂直于BC且交于點D，BE垂直于AC且交于點E ，AD = BC，M為BC的中點，AD交BE于H，求DH + HM與BC 之間的數量關系.

分析 該題用純幾何方法很難找出DH + HM與BC之間的關系，但如果考慮用代數知識通過計算，即數形結合法來求解，學生在解題的過程中會很容易找出答案，解題過程如下：

解 設AD = BC = 2，則BM = CM = 1，設DM = x，CD = 1 - x，BD = 1 + x，

因為∠BDH = ∠ADC，∠HBD = ∠CAD，

所以△BHD∽△ACD，所以DH ∶ CD = BD ∶ AD，

所以DH = ■（1 - x2），

在Rt△MHD中，MH2 = DH2 + DM2，

MH2 = ■（1 - x2）2 + x2，所以MH = ■（1 + x2），

所以DH + HM = ■（1 - x2） + ■（1 + x2） = 1，

又因為■BC = 1，所以DH + HM = ■BC.

在對該題進行求解時代數法的使用大大降低了該題目的難度，通過設適當的未知數，將含有未知數的代數式參與到解題的運算中，用未知數表示同一圖形中的相關量，再根據條件建立方程關系進行求解，使此題在解答時變得更加簡明.

2. 用代數法解決有關圓的計算

圓是初中生在學習平面幾何過程中非常重要的知識，而且在平時做練習和考試的題目中有關圓出現的題目也非常多，對學生們的測試形式并不是單單只有平面圓的圖形，往往跟其他圖形相結合對學生所掌握的知識進行測試，在有關圓與其他圖形方面的知識有很多，如圓內四邊形所有的性質，三角形內切圓、外接圓的各邊和中線重線等性質，所以在做有關圓與其他圖形相結合的題目時如果用一般的方法進行計算很難得出正確答案，而且在計算的過程中很容易被某些未知條件阻擋，所以當學生遇到有關題目且無法解出答案時可以換一種思考的方式尋求答案，代數法可以在解題的過程中將未知視為已知，通過平面幾何解題常用的方法數形結合對未知量進行設解進行計算，這樣在解題的過程中只需列出有關的計算式子就可以對未知量進行求解，而且大大減少了學生在解題過程中由于未知量而無法順利解題的困擾.

3. 用代數法解決組合圖形問題

初中生在平時的平面幾何題目的練習過程中遇到的大多數計算題目都是以組合圖形的形式出現在學生們的面前，一般情況下單一的圖形對學生所學知識的考驗程度并不高，而且單一的圖形并不能對學生所學的有關平面幾何進行綜合能力的考驗，但是在解決有關組合圖形的問題時往往由于圖形復雜學生無從插手，而且這類題目中往往涉及的位置條件比較多在計算的過程中很難進行直接計算，所以這就需要學生們在解決這類題目時運用代數法進行求解，在解題的過程中將未知量設成未知數且把它當成已知量進行計算，有了這些條件學生就可以通過數形結合的方式列出相關的關系方程對該題進行計算，在邏輯關系上這些計算方程也會非常簡明，讓學生在解決這類題目時變得得心應手.

代數法在初中數學平面幾何的計算題目中應用的范圍很廣，它可以解決多類相關題目而且該方法是數形結合的最好體現，通過圖形列出它們之間的數量關系，而且運用代數法進行解題時大大降低了平面幾何題目的難度，學生在做題的過程中也能很好地鍛煉思維能力，平面幾何圖形的學習往往要求學生們在解題的過程中擁有數形結合的能力，在平時練習的過程中沒有頭緒時使用代數法將圖形與它們之間的數量關系完美的結合在一起來進行求解，使所解題目變得更簡明. 所以這就要求教師在平面幾何的教學過程中要鼓勵學生們運用代數法進行平面幾何題目的有關計算，在不斷地練習中讓學生們的思維變得更加活躍，解題邏輯變得更加清晰.