幫你走出“一元二次方程”的解題誤區(qū)

伏紅明

【摘要】 解有關(guān)一元二次方程的題目，通常會出現(xiàn)下列錯(cuò)誤：忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為零；把關(guān)于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0看成一元二次方程；忽視二次根式有意義的條件；已知方程的根想不到代入原方程用整體代入求結(jié)果；不會利用等腰三角形中的兩邊相等解題.

【關(guān)鍵詞】 忽視；整體代入；利用

解有關(guān)一元二次方程的題目，通常會出現(xiàn)下列錯(cuò)誤：

錯(cuò)誤1：忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為零，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)

問題1 關(guān)于x的方程mx2 + 2x - 1 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

錯(cuò)誤解法：∵關(guān)于x的方程mx2 + 2x - 1 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴ 4m + 4 ≥ 0，∴ m ≥ -1.

點(diǎn)評：既然關(guān)于x的方程mx2 + 2x - 1 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，說明原方程是一元二次方程，因此m ≠ 0，所以m的取值范圍是m ≥ -1且m ≠ 0.

錯(cuò)誤2：把關(guān)于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0看成一元二次方程，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)

問題2 關(guān)于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

錯(cuò)誤解法：∵關(guān)于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0有實(shí)數(shù)根，∴ 4 - 4（a - 2） ≥ 0，且a - 2 ≠ 0，∴ a ≤ 3且a ≠ 2.

點(diǎn)評：由關(guān)于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0有實(shí)數(shù)根，不能說明原方程一定是一元二次方程. 當(dāng)a = 2時(shí)原方程為2x + 1 = 0，此方程有實(shí)數(shù)根x = -■，滿足條件. 所以原方程也可能是一元一次方程，所以此題應(yīng)分類討論.

正確解法：當(dāng)a ≠ 2時(shí)，

∵ 關(guān)于x的方程（a - 2）x2 + 2x + 1 = 0有實(shí)數(shù)根，

∴ 4 - 4（a - 2） ≥ 0，且a - 2 ≠ 0，∴ a ≤ 3且a ≠ 2.

當(dāng)a = 2時(shí) 原方程為2x + 1 = 0，此方程有實(shí)數(shù)根x = -■，滿足條件.

綜上所述，a的取值范圍是a ≤ 3.

錯(cuò)誤3：忽視二次根式有意義的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤

問題3 關(guān)于x的方程x2 - 2■x - 1 = 0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

錯(cuò)誤解法：∵原方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，∴（-2■）2 - 4 × 1 × （-1） > 0，即4（k - 1） + 4 > 0，解得k > 0.

點(diǎn)評：因?yàn)榉匠讨泻小觯埂鲇幸饬x，必須k - 1 ≥ 0，即k ≥ 1.

正確解法：∵原方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，∴（-2■）2 - 4 × 1 × （-1） > 0即4（k - 1） + 4 > 0，解得k > 0.

又k - 1 ≥ 0，即k ≥ 1. ∴ k的取值范圍是k ≥ 1.

錯(cuò)誤4：已知方程的根想不到代入原方程用整體代入求結(jié)果

問題4 已知x1，x2是方程x2 + 3x - 1 = 0的兩根，求（x12 + 3x1 + 2）（5 - 3x2 - x22）的值.

錯(cuò)誤解法：解方程x2 + 3x - 1 = 0，得x1 = ■，x2 = ■.

（x12 + 3x1 + 2）（5 - 3x2 - x22） = ■2 + 3 × ■ + 2

5 - 3 × ■ - ■2.

點(diǎn)評：由于上面計(jì)算較繁，陷入困境求不出結(jié)果.

正確解法：∵ x1，x2是方程x2 + 3x - 1 = 0的兩根，∴ x12 + 3x1 - 1 = 0，x22 - 3x2 - 1 = 0. ∴ x12 + 3x1 = 1. x22 - 3x2 = 1.

∴（x12 + 3x1 + 2）（5 - 3x2 - x22） = （1 + 2）（5 - 1） = 12.

拓展題：若n是關(guān)于x的方程x2 + mx + n = 0的根，且n ≠ 0. 求m + n的值.

分析：把x = n代入方程x2 + mx + n = 0，得n2 + mn + n = 0，∴ n（n + m + 1） = 0.

∵n ≠ 0，∴ n + m + 1 = 0，∴ m + n = -1.

錯(cuò)誤5：不會利用等腰三角形中的兩邊相等解題，導(dǎo)致解題無從下手

問題5 等腰△ABC中，BC = 8，AB、AC是方程x2 - 10x + m = 0的兩根. （1）求m的值；

（2）求AB、AC的值.

分析：既然△ABC是等腰三角形，那么必有兩條邊相等. 題目中沒有確定哪兩條邊相等，因此要考慮三種情況：（1）AB = BC，（2）AB = AC，（3）BC = AC.（1）當(dāng)AB = BC = 8時(shí)，方程x2 - 10x + m = 0有一個(gè)根是8，把x = 8代入方程x2 -10x + m = 0得64 - 80 + m = 0，所以m = 16. 解方程x2 - 10x + 16 = 0得x1 = 2，x2 = 8. 所以AB = 8，AC = 2. （2）當(dāng)AB = AC時(shí)，方程x2 - 10x + m = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以（-10）2 - 4 × 1 × m = 0，所以m = 25.再解方程x2 - 10x + 25 = 0得x1 = x2 = 5，所以AB = AC = 5.（3）當(dāng)AC = BC = 8時(shí)，方程x2 - 10x + m = 0有一個(gè)根是8，所以64 - 80 + m = 0，所以m = 16. 解方程x2 - 10x + 16 = 0得x1 = 2，x2 = 8. 所以AB = 2，AC = 8.

總之，當(dāng)關(guān)于x的方程中二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，題目中說明一元二次方程有實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)實(shí)數(shù)根才能運(yùn)用判別式去解題，否則不能直接運(yùn)用判別式去解題. 反之，運(yùn)用判別式必考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為0；已知方程的根要想到代入原方程求待定系數(shù)或特殊代數(shù)式的值；已知等腰三角形中的邊是一元二次方程的根，如果題目沒有說明此邊是腰或底邊，解題時(shí)要分類討論這兩種情況.