形容樸素意在思維

●葉興炎 (柯橋中學 浙江紹興 312030)

形容樸素意在思維

●葉興炎 (柯橋中學 浙江紹興 312030)

2015年浙江省數學高考理科第18題考查函數的單調性與最值、不等式的性質.本題給人的第一感覺是抽象程度高、難度不小，但一經思考，就會發現其實只需討論函數在區間［－1，1］的端點及對稱軸處的取值情況，問題沒有想象中的復雜;再仔細考慮，我們會發現該題解法很多，不同層次的學生都能找到適合自己的方法，不禁讓人拍案叫絕.

題目已知函數f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R)，記M(a，b)是|f(x)|在區間［－1，1］上的最大值.

1)證明:當|a|≥2時，M(a，b)≥2;

2)當a，b滿足M(a，b)≤2時，求|a|+|b|的最大值.

1 第1)小題的解法

1.1 分類討論，最基礎

當問題不能直接得到解決時，我們可以將問題分解成幾個部分，然后對每一部分進行分析，從而得到整個問題的解決.這樣處理從過程上看比較繁瑣，但本質上是分類討論的數學思想方法的運用，是學生應該掌握的基本解題方法.

解法1若a≥2，則，函數y=f(x)在x∈［－1，1］上單調遞增.

解法2由題意，得，從而|f(x)|在 x=－1或x=1處取到最大值，于是

1.2 幾何意義，要掌握

|a|的幾何意義是:數軸上表示a的點到原點的距離.解題時靈活地應用絕對值的幾何意義，往往能使過程直觀簡潔，事半功倍.

解法3由題意，得，從而|f(x)|在 x=－1或x=1處取到最大值，于是

根據絕對值的幾何意義，|b+1－a|+|b+1+a|表示數軸上的一點到－a和a的距離之和，則當這一點在－a和a之間取值時，|b+1－a|+|b+1+a|有最小值2|a|，因此

1.3 不等式性質，好想法

本題用不等式的相關性質就能解決.

解法4由題意，得，從而|f(x)|在 x=－1或x=1處取到最大值，于是

1.4 逆向考慮，新思路

根據題意，要證明的不等式“M(a，b)≥2”右邊的“2”滿足“2≤|a|”，a可以用f(1)，f(－1)表示，而f(1)，f(－1)與M(a，b)之間存在聯系.

解法5由f(1)=1+a+b，f(－1)=1－a+ b，得

1.5 定理應用，很直接

應用絕對值不等式:若a，b∈R，則

本題可“秒殺”.

解法6由題意，得，從而|f(x)|在 x=－1或x=1處取到最大值，于是

2 第2)小題的解法

2.1 常規解法:線性規劃

由M(a，b)≤2，可知|a|≤2，則|f(x)|在區間［－1，1］上的最大值在x=－1，x=1或處取到，從而

由此可畫出可行域，原題轉化為關于a，b的線性規劃問題.從考后學生的反饋得知，這應該是最為普遍的做法.

解法1由M(a，b)≤2，可知|a|≤2，由題意可知|f(x)|在x=－1，x=1或處取到最大值，從而可行域為如圖 1所示區域ABCD及其內部.令t=|a|+ |b|，則

當b≥0時，b=－|a|+t，可行域為△AEF及其內部，從而當點(a，b)=(0，0)時，tmin=0，當點(a，b)=(0，1)時，tmax=1.

圖1

當b≤0時，b=|a|－t，可行域為區域BCDFE及其內部，當點(a，b)=(0，0)時，tmin=0，當點(a，b)=(±2，－1)時，tmax=3.

綜上所述，當a=±2，b=－1時，|a|+|b|的最大值為3.

2.2 巧妙手段:反解a，b

含絕對值的函數問題，我們可以對函數賦值，然后反解，用若干函數值表示a，b，轉化為考慮函數性質的問題.

解法2由f(1)=1+a+b，f(－1)=1－a+ b，知

綜上所述，當a=±2，b=－1時，|a|+|b|的最大值為3.

本題的命題背景簡單、考查基礎，從解法來看，第1)小題的解法除了絕對值不等式不作要求外，其他解法是常規的;而第2)小題的解法，也是學生應該掌握的，如果利用一些特殊的結論，過程就更簡潔了.但為什么許多學生直呼被難倒了呢?筆者認為還是因為在教學中我們已習慣于把學生作為純粹的解題機器，只顧著對學生進行知識的傳授和灌輸，忽視了對學生分析能力、鉆研能力的培養，導致學生會解“面熟”的題目，但思維品質不高.高考試題恰有獨創、新穎的特點，于是在考場上學生變得手足無措、無法快速找到問題的突破口.因此教師要理解新課改的理念，培養學生對數學學習的興趣，教學中堅持以思維為本，輔以必要的教學指導和訓練，使學生獲得對高中數學知識本質和規律的掌握，提高高中數學教學的有效性.