2015年浙江卷理科第5題的解法研究及推廣

●鄭惠群 (永康市第二中學(xué) 浙江永康 321300)

2015年浙江卷理科第5題的解法研究及推廣

●鄭惠群 (永康市第二中學(xué) 浙江永康 321300)

1 考題呈現(xiàn)

題目如圖1，設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有3個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是

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圖1

2 命題分析

本題是2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第5題，題目以直線與拋物線的位置關(guān)系為背景，考查拋物線的定義，考查轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.雖然題目簡(jiǎn)潔，但對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力還是有一定的要求，屬于中等偏容易的題目.解決此問題的關(guān)鍵在于如何計(jì)算△BCF與△ACF的面積之比，計(jì)算的視角不同，所得的解法及繁易程度也不盡相同.下面我們給出2種常規(guī)的思考方法，并把這道題目的結(jié)論推廣到橢圓與雙曲線.

3 解法研究

分析1因?yàn)椤鰾CF與△ACF有相同的底邊CF，所以計(jì)算它們的面積比時(shí)，可以考慮點(diǎn)A，B到CF的距離之比.點(diǎn)A，B到CF的距離可以通過設(shè)直線AB的方程并與拋物線方程聯(lián)立以此解得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)所滿足的條件，從而求出△BCF與△ACF的面積之比.

圖2

解法1如圖2，過點(diǎn)A，B作CF的垂線分別交于點(diǎn)L，M，則

設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意x1＞0，x2＞0，得C(0，b)，F(xiàn)(1，0)，從而直線CF的方程為

評(píng)注上面的解法是典型的“解析幾何”方法，思維量較小，但運(yùn)算量略大，在高考中如果使用這種解法的話，性價(jià)比并不高.

分析2如果在計(jì)算△BCF與△ACF的面積時(shí)，把這2個(gè)三角形都看成以F為頂點(diǎn)、以BC和AC為底邊，由于點(diǎn)A，B，C是共線的，因而這2個(gè)三角形的高是相等的，從而

解法2如圖3，過點(diǎn)A，B分別作 y軸的垂線，分別交 y軸于點(diǎn)E，G，并交準(zhǔn)線l于點(diǎn)A1，B1，則易知△CBG∽△CAE.根據(jù)拋物線的定義可知|BB1|=|BF|，|AA1|=|AF|，且準(zhǔn)線方程為x=－1，則

圖3

評(píng)注在上面的解法中，我們把2個(gè)三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度之比，并通過構(gòu)造2個(gè)相似三角形，結(jié)合拋物線的定義得到了答案，與解法1相比幾乎沒有什么運(yùn)算量.但如果我們注意到點(diǎn)C是y軸上的點(diǎn)，并把中的線段BC與線段AC的長(zhǎng)度投影到x軸上，那么就有，從而由拋物線的定義可以快速地得到答案.

4 拓展推廣

4.1 拋物線中的一般結(jié)論

由上面的解法2以及評(píng)注我們可以得到對(duì)于一般的拋物線y2=2px有下面的結(jié)論:

結(jié)論1若對(duì)任意的拋物線y2=2px(其中p＞0)，不過焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于點(diǎn)A，B，且交y軸于點(diǎn)C，則

4.2 橢圓與雙曲線中的結(jié)論

如果把試題中的拋物線改為橢圓和雙曲線，是否也有類似的結(jié)論呢?利用解法2及評(píng)注中的分析，可以得到下面的結(jié)論:

結(jié)論2如圖4，設(shè)橢圓(其中a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，直線l不經(jīng)過焦點(diǎn)，與橢圓相交于點(diǎn)A，B，與y軸的交點(diǎn)為C，則△BCF與△ACF的面積之比是.

圖4

證明因?yàn)?其中h為點(diǎn)F到直線l的距離)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，把中的線段BC與線段AC的長(zhǎng)度投影到x軸上，則

評(píng)注此結(jié)論用解法1也可以證明，只是運(yùn)算量稍微大一點(diǎn).如果F為橢圓的左焦點(diǎn)，結(jié)論依舊成立，證明留給讀者.

結(jié)論3設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F，直線l不經(jīng)過焦點(diǎn)，與雙曲線相交于點(diǎn)A，B(其中xA＞xB)，與y軸的交點(diǎn)為C，則△BCF與△ACF的面積之比有如下的結(jié)論: