管中窺豹可見一斑
——2015年浙江省數學高考理科試題空間向量方法的啟示

●沈國根 (湖州中學 浙江湖州 313000)

管中窺豹可見一斑
——2015年浙江省數學高考理科試題空間向量方法的啟示

●沈國根 (湖州中學 浙江湖州 313000)

空間向量一直是中學數學的重要內容之一，歷來是備考的重點復習對象.筆者通過對2015年浙江省數學高考理科試卷的深刻體驗，發現有好幾題都可以用空間向量的方法來進行求解、證明.這或許正是命題者從中想要貫徹的意圖，以體現空間向量作為工具解決問題的重要性.下面筆者將自己的理解整理出來，以供參考.

1 例題賞析

例1如圖1，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A'CD，所成二面角A'-CD-B的平面角為α，則

圖1

( )

A.∠A'DB≤α

B.∠A'DB≥α

C.∠A'CB≤α D.∠A'CB≥α

(2015年浙江省數學高考理科試題第8題)

圖2

圖3

解如圖2，設∠ADC=β，∠CDB=γ，則β+ γ=π.如圖3，設∠A'DB=θ，DA'=DB=t，DC=d.作A'N⊥DC于點N，BM⊥DC于點M，則

點評學生在實際解題過程中可能通過2個極端位置(2個半平面攤平和重合)來判斷該題的答案.但只能做到知其然，不知其所以然.通過引入空間向量，可以很好地詮釋這一動態過程.而且筆者發現，當D不是中點時，該結論也成立.

例2如圖 4，三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD= CD=3，AD=BC=2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是______.

圖4

(2015年浙江省數學高考理科試題第13題)

點評對于異面直線所成角的一般求法，都是通過空間問題平面化的思想，轉化到某個三角形內進行求解.本題通過空間中2個向量所成角的思想，引入基底，不失為一種好方法.在基底的選擇上，并不需要建構空間直角坐標系，而是選擇了一組已知大小、夾角的基底.

例3已知e1，e2是空間單位向量，，若空間向量b滿足b·e1=2，，且對于任意x，y∈R，|b－(xe1+ye2)|≥|b－(x0e1+ y0e2)|=1(其中x0，y0∈R)，則x0= ______，y0= ______，|b|=______.

(2015年浙江省數學高考理科試題第15題)

解如圖5，把向量e1，e2，b共起點，記起點為O.對于任意x，y∈R，

(其中x0，y0∈R)，可得向量b的終點到 e1，e2確定的平面的距離為1，引入單位向量e3.記

圖5

對式(1)的2邊分別和e1，e2作數量積，可得方程組

點評對于該題的解法，筆者看到過好多種.但通過引入空間向量，卻是最簡單的解法.該題中，對于條件|b－(xe1+ye2)|≥|b－(x0e1+y0e2)|= 1(其中x0，y0∈R)的理解和把握是一個難點，這需要學生對向量加減法的幾何含義有充分的認識.

例4如圖 6，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，點A1在底面ABC的射影為BC的中點，D為B1C1的中點.

1)證明:A1D⊥平面A1BC;

2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.

(2015年浙江省數學高考理科試題第17題)

1)略.

圖6

圖7

2)解以CB的中點E為原點，分別以射線EA，EB為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系E-xyz(如圖7所示).由題意知各點的坐標如下:

點評該題在解法上主要分2種:一種是傳統意義上的點、線、面之間的位置關系;另一種就是用空間向量.但是對于空間向量，相當多的學生都是通過選擇單位正交基底進行解題.其實，對于基底的選擇并沒有那么苛刻，只要滿足通常意義上的有大小、夾角，都是不錯的基底.例如，本題還可以選擇為基底求解證明.

2 教學啟示

高考試卷不但是對當年考生數學能力的考查，而且在一定層面上，也成為一線教師，特別是高三教師在數學復習過程中的一種導向.筆者認為，2015年浙江理科卷中的上述4道題，都能通過空間向量的方法來解決.這應該不是一種巧合，而是凸顯了向量的思想、向量的方法在數學問題解決中的重要性.筆者有2點啟示如下:

2.1 改變學生對空間向量方法的認識

在用空間向量解決立體幾何問題的教學中，筆者深有體會:大多數教師都把墻角模式看得太重，高喊著“有墻角就用墻角，沒墻角就挖墻腳“的口號，固化了學生的思維，使得學生一碰到立體幾何的問題，就想方設法地建立空間直角坐標系，久而久之，把立體幾何的教學變成了“解析幾何”.其實，空間直角坐標系只是一組特殊的基底(單位正交基底)，而在基底的選擇上，只要滿足有大小、夾角，都可以構建起整個問題的向量計算體系.因此，要改變學生對空間向量體系的認識，不能是“我的眼里只有你”——單位正交基底.

2.2 重視教材中的課后習題

命題者與學生的共同財富是數學課本，試題以課本為基礎，源于課本又高于課本.因此，在平時的教學復習中，應充分認識課本及課后習題的重要性，對于空間向量在立體幾何中的應用，其實課本的課后練習及配套的《作業本》都有大量的空間向量方法，而且在習題的選擇上，都凸顯了對于一般化基底的應用.好好利用這部分練習，可以更好地提升學生在空間向量上的應用能力.