運用定義巧解題
——探討一類橢圓離心率的通性通法

●許昌滿 (嘉興高級中學 浙江嘉興 314031)

運用定義巧解題
——探討一類橢圓離心率的通性通法

●許昌滿 (嘉興高級中學 浙江嘉興 314031)

1 問題的提出

圖1

(2015年浙江省數學高考文科試題第15題)

這是一道求橢圓離心率的問題，命題遵循了浙江省數學高考“條件簡潔、問題清楚”的風格，但考生普遍感覺“入手容易，計算難”.其實，這涉及到3個方面:第一，對題意的理解與等價轉化;第二，對解法的選擇和優化;第三，對計算能力的要求.本文試圖從橢圓離心率的有關知識要點出發，以一道浙江省會考題為引例，通過變式和類題，比較解法的優劣，選擇與優化，并進行拓展，最后提出幾點教學思考，以期拋磚引玉.

2 分析與解決

2.1 知識要點分析

1)橢圓的定義:平面內與2個定點F1，F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.反之，橢圓上任意一點P，到2個定點F1，F2的距離為|PF1|，|PF2|，均有|PF1|+|PF2|= 2a(其中2a＞|F1F2|).

圖2

4)橢圓離心率的幾何意義可以理解為:在橢圓長軸長不變的前提下，2個焦點離開中心的程度.離心率越大，橢圓越扁;反之，離心率越小，橢圓越接近于圓.

5)與橢圓離心率相關的常見題型:求e的值，求e的范圍.

2.2 問題的解決

2.2.1 從一個引例說起

引例設橢圓(其中a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，若，則橢圓的離心率為 ( )

解法 1由 PF1⊥F1F2，， |F1F2|=2c，得，故.因點P在橢圓上，代入橢圓的方程并化簡得

解法2由題意可知

因點P在橢圓上，由橢圓定義

評析一般地，求橢圓離心率的值，其實就是要尋找或建立一個含有a，b，c或其中任意2個的方程，結合b2=a2－c2，解得c和a的值或者其比的值.解法1先求出點P的坐標，再代入橢圓的方程，得到含有c與a的方程.解法2先算出|PF1|，|PF2|的值，再利用橢圓的定義，得到含有c與a的方程，直接求出離心率.很顯然，解法2的計算量較小，得到的方程也更為簡潔.

2.2.2 變式與類題

變式1如圖3，設橢圓(其中a＞b＞0)的左焦點為F1，O為坐標原點，P為橢圓上一點，若△PF1O為等邊三角形，則橢圓的離心率為______.

圖3

解法1由題意，不難得出，代入橢圓的方程并化簡得

解法2設橢圓右焦點為F2，聯結PF2，易得.由橢圓定義得，故.

評析變式1中沒有出現右焦點，解法2創設了右焦點，構造一個以|PF1|，|PF2|為邊的△PF1F2，算出|PF1|，|PF2|，利用橢圓定義，便直接建立了a與c的方程，簡化了計算，較解法1更勝一籌.

類似題1已知等腰直角△ABC的斜邊為AB，以點為A中心、點B為焦點作橢圓，若直角頂點C在該橢圓上，則橢圓的離心率為______.

(2011年浙江省名校聯盟卷文科第15題)

變式2如圖4，橢圓(其中a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，Q.若∠PF2Q為銳角，則橢圓的離心率的取值范圍為______.

圖4

解法1由題意，設點P的坐標為P(－c，yp)，由點P在橢圓上，代入橢圓的方程，可解得，即.因為∠PF2Q為銳角，所以∠PF2F1＜45°，從而|PF1|＜|F1F2|，即，消去b2，得a2－c2＜ 2ac，解得或(舍去)，故.

解法 2退一步，當∠PF2Q為直角時，有∠PF2F1=45°，由題意容易算出|PF1|=2c，，根據橢圓定義，得，從而，故當∠PF2Q為銳角時，橢圓變扁，離心率隨之變大，因此.

評析變式1到變式2，條件由等邊三角形到銳角三角形，由角度確定到角度有范圍，問題也由求離心率的值到求范圍.因此，解題策略也由構建方程到構建不等式.解法1根據角之間的不等關系，建立邊之間的不等關系(大角對大邊)，從而建立一個關于a，b，c的不等式，求出e的范圍.解法2看似巧妙，實則為等價轉化，“以退為進”.根據方程與不等式、直角與銳角間的辯證關系，先求出直角條件下橢圓的離心率，再結合橢圓離心率的幾何意義，便間接求出了銳角條件下離心率的范圍.

類似題2橢圓(其中a＞b＞0)的焦點為F1，F2.若橢圓上存在點P，使△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，則橢圓離心率的取值范圍是

( )

(2014年浙江省數學學考試題第23題)

2.2.3 2種方法的比較

有了以上的準備，對于例1，常見的有如下2種解法.

解法1設F(c，0)關于直線的對稱點為Q(m，n)，由題意有

解法2如圖5，設橢圓的左焦點為 F1(－c，0)，聯結QF1.設QF與直線交于點M，由題意知M為線段QF的中點，且OM⊥QF.又O為線段F1F的中點，故OM為△FF1Q的中位線.在Rt△OMF中，，從而

圖5

評析解法1根據題意的條件，直接轉化(我們稱之為“直譯”)，先利用點關于直線對稱的關系，計算得到右焦點的對稱點，再通過該點在橢圓上，代入方程，化簡得到關于a，c的方程，由此計算離心率.但這個計算量是巨大的，對含有字母的運算能力要求較高，筆者通過調查了解及現場演練，發現大部分學生在5分鐘、甚至10分鐘之內也無法完成.解法2聯想到橢圓的定義，創設左焦點F1，聯結QF1，這樣就如同變式1中的解法2一樣，構造了一個以|QF1|，|QF|為邊的△QF1F，再將點關于直線對稱的條件等價轉化(我們稱之為“意譯”)，得OM為△FF1Q的中位線，算出|QF1|，|QF|，再利用橢圓的定義，問題便得以解決.解法1“起點低、落腳難”，“入手容易、計算難”;解法2等價轉化，自然、流暢，計算簡潔.因此，解法2應該是我們優先考慮的.

2.3 拓展

綜合上述問題，求這樣一類橢圓的離心率問題，即條件中給出了橢圓的2個焦點(或只給出1個焦點，此時需要創設另一個焦點)，往往可以構建一個以|PF1|，|PF2|(P為在橢圓上一點)為邊的△PF1F2，算出|PF1|，|PF2|，再利用橢圓的定義，通過|PF1|+ |PF2|=2a建立一個含有a，b，c或其中任意2個的關系式，從而算出離心率的值或范圍，這是我們解決上述問題應優先考慮的通性通法.其實，這種通性通法還可以拓展到雙曲線的離心率問題和橢圓、雙曲線的綜合離心率問題中，舉例如下(由于篇幅有限，具體解法在此不再贅述).

1.如圖6，F1和F2分別是雙曲線(其中a＞0，b＞0)的2個焦點，A和B是以O為圓心、以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的2個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 ( )

(2007年安徽省數學高考理科試題第9題)

圖6

圖7

2.如圖7，F1，F2是橢圓C1:與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是

( )

(2013年浙江省數學高考文科試題第9題)

(2013年浙江省嘉興市二模試題理科第8題)

3 幾點思考

3.1 關于數學概念的教學

李邦河院士曾說“數學是玩概念的”.概念是一切數學活動的基礎，若概念不清就無法進一步開展其他數學活動.因此，數學教師要特別重視概念教學的研究，注重數學概念產生的背景，以及它的發生、發展和應用，注重數學過程的體驗，注重對數學本質的理解與感悟.

比如在上“橢圓及其標準方程”時，教師可讓學生自己動手制作工具并演示，從中體驗橢圓的形成過程.教師再配上幾何畫板動態演示，加深學生的感觀.又如在上“雙曲線及其標準方程”時，教師可以和學生一起探究，為什么初中所學的方程所對應的圖像也叫雙曲線，它和高中所學的雙曲線(其中a＞0，b＞0)有什么區別和聯系，它的中心在哪里，實軸在哪里，焦點又在哪里?這樣，在學生的最近發展區提出問題、研究概念，會更親切、自然而有效，同時還可以培養學生學習數學的興趣，激發求知的欲望.

3.2 關于解題方法的選擇、優化與認識

一道數學試題，如從不同的背景和視角出發，可以有不同的解法.有些教師在日常教學時，過分地追求自己的“一題多解”，而忽視了學生的“主體參與”.特別是一些公開課，看似“熱鬧”的課堂，其實是教師一個人展示“高難動作”的“絕活表演”.一些技巧性較強的“秒殺”法，學生“拍手叫絕”，輪到自己做時，由于缺乏獨立認識和思考，便會出現“邯鄲學步”的尷尬境況.

在例題或習題教學中，我們應鼓勵學生積極參與，讓“百花齊放、百家爭鳴”.但更要引導學生從中提煉、總結出最初、最基本的數學概念，最自然、最優化的解題方法.通過對一道題目的深入研究，透過現象抓住本質，找出規律，以逐步達到“做一題，會一類;用一法，解多題”的效果.這種“大眾化”的通性通法，不僅有利于學生求同思維的發展、聚斂思維的提升，也是新課改理念下，擺脫“題海戰術”、減輕學生負擔所倡導的.

在解題教學中，還應注重對解題方法本質的認識.比如，在引例中，點P在橢圓上，有2種處理的策略.解法2利用橢圓的定義(其實是將橢圓的定義當作橢圓的性質在用，即橢圓上任意一點P，到其2個焦點F1，F2的距離之和|PF1|+|PF2|均為2a);解法1將點P的坐標代入橢圓的方程，其實也是在利用橢圓的定義(因為橢圓的方程就是根據其定義推導出來的).

3.3 關于計算能力的培養

《課程標準》中提到的“5種能力”，就包括運算求解能力.在“圓錐曲線”的教學中，應特別強調對學生計算能力的培養.我們應將這種訓練和培養融入到每一節課中.比如，在上“橢圓及其標準方程”時，讓學生自己動手推導橢圓的標準方程;在上“雙曲線及其標準方程”時，要“舍得”拿出時間讓學生自己動手推導(有部分教師認為在前面已經推導過橢圓的標準方程，再在課堂上給學生推導雙曲線的標準方程，是“重復勞動”、“浪費時間”.殊不知，這是培養學生字母運算能力的大好時機).雖然浙江省數學高考命題重視“多想一點，少算一點”，但很多學生卻往往“失誤”在一些最基本的運算上.初中的課改，將計算器引入課堂，但高考卻不能將計算器帶入試場.因此培養學生的計算能力，需要從學習中的每一個細節抓起.

3.4 關于數學思想的感悟

解題教學不要僅僅停留在某種“解題術”的訓練上，還要引導學生及時地提取并掌握其中的通性通法.更重要的是，還要發展學生感悟其中所蘊含的數學思想方法的意識.比如，變式2的解法2和例1的解法2中所蘊含的等價轉化思想、數形結合思想等等.學生這種數學思想的樹立，需要教師長期、有意識地營造氛圍，無意識地熏陶，讓他們自然地被感染和領悟，而非我們偶爾那幾句“蒼白”的“說教”或“吶喊”.

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課課程標準(實驗)［M］.北京:人民教育出版社，2004.

［2］許昌滿.一道數學高考試題的多元透析［J］.中學教研(數學)，2014(12):36-39.

［3］謝全苗.數學解題教學中要辯證地看待“通法”與“巧法”［J］.數學通報，2001(6):33-34.