識得棱錐真面目 只緣身在立體中
——利用長方體視角解決幾類常見的棱錐模型

●顧予恒 朱成萬 (杭州第十四中學 浙江杭州 310006)

識得棱錐真面目 只緣身在立體中
——利用長方體視角解決幾類常見的棱錐模型

●顧予恒 朱成萬 (杭州第十四中學 浙江杭州 310006)

2015年的高考大幕徐徐落下，縱觀各地數學高考試題，立體幾何的相關問題大都有三小一大，分值占到了卷面的，特別是立體幾何的小題往往成為學生眼中最懼怕且失分最多的問題之一.究其原因，立體幾何對于學生空間想象能力的要求較高，對幾何思維考查的難度較大.空間向量工具的引入，一度使得立體幾何空間想象能力較弱的學生看到了解題的曙光.立體幾何大題一般比較容易通過建系轉化為坐標代數運算解決，但小題的建系就比較困難或者費時費力，因此讓學生熟練掌握幾類常見模型，能在第一時間洞穿題中的幾何體來自何方，是解決立體幾何問題的有效途徑.

本文結合各地數學高考真題與模擬題，為大家介紹“全等體”、“三截棍體”、“鱉臑體”、“墻角體”等幾種常見棱錐模型，供大家參考.

1 引子

在作業本中有這樣的一道習題:

例1在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何體的4個頂點，這些幾何體可以是______(寫出所有正確結論的序號).

①每個面都是全等三角形的四面體;

②每個面都是直角三角形的四面體;

③有3個面為直角三角形的四面體.

圖1

圖2

圖3

圖4

分析本題的答案是①②③，如圖1～4所示.這里將4種常見的三棱錐放入到了外接的立方體中，有助于在立方體中更好地探尋棱錐的性質.

立體幾何問題總是以各種棱錐(柱)作為載體，考查線線、線面與面面的位置關系及角度、長度、面積、體積的計算.而各種棱錐(柱)都可以由一個外接的長方體切割而成，因此找到對應的外接長方體(立方體)，就猶如搭好了腳手架，讓問題的解決變得一目了然，正所謂“識得棱錐真面目，只緣身在立體中”.

2 全等體——每個面全等的四面體

如圖1，將四面體放入長方體中，注意到三棱錐是由長方體的6條面對角線組成，可以很容易發現它具有以下性質:

性質1)四面體的3組對棱分別相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC;

2)四面體的4個面全等;

3)從四面體ABCD每個頂點出發的3條棱兩兩夾角之和為定值;

4)從四面體ABCD每個頂點出發的3條棱的長可作為一個三角形的3條邊長;

5)連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分.

分析1)將四面體ABCD放入長方體中，它的3組對棱恰好為長方體的3組面對角線，因為長方體對棱相等，所以性質1)顯然成立.特別地，當所有棱都相等時，就是放在正方體內的正四面體.

2)我們還可以發現，這個四面體每個面的三角形都由長方體不同的3條面對角線構成，因此根據“SSS”全等的判定法則，性質2)也成立.

3)由性質2)可知，從四面體ABCD每個頂點出發的3條棱兩兩夾角恰好是四面體一個面三角形的3個內角，和為定值.

性質4)和性質5)利用長方體的視角來審視，也是顯而易見的.

這些性質恰好是由2012年安徽省數學高考試題第15題演變而來，同時提供了一個非常有用的模型——全等體.凡遇到描述為對棱相等、四面全等、正四面體的四面體都可以放入長方體內，在長方體內重新解讀題目的含義.

例2如圖5，在三棱錐A-BCD中，AB=AC= BD=CD=3，AD=BC=2，若M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CN 所成角的余弦值為______.

(2015年浙江省數學高考理科試題第13題)

分析本題可以有多種解法，但若注意到三棱錐3組對邊兩兩相等，就可以將其放入長方體內，構造長方體模型“秒殺”.

如圖5所示，根據題中條件AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，可得構造的長方體長、寬、高分別為.

圖5

解法2如圖6構建了長方體，用幾何法解決也是易如反掌.聯結 ME，顯然ME∥AN，故所求角即為∠CME.因為

圖6

本題與2015年浙江省杭州市高三二模理科第13題有異曲同工之妙.

例3在正四面體ABCD中，M是AB的中點，N是棱CD上的一個動點.若直線MN與BD所成角為α，則cosα的取值范圍是______.

(2015年浙江省杭州市高三二模理科試題第13題)

分析因為ABCD是正四面體，所以可以構建如圖7所示的外接正方體.

以O為原點、OD為x軸、OC為y軸、OA為z軸建立坐標系，則A(0，0，2)，B(2，2，2)，C(0，2，0)，D(2，0，0)，M(1，1，2)，N(x，2－x，0)，故

圖7

圖8

浙江省歷年高考題中也多次出現這一模型，例如:

例4在長方體 ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2.若存在各棱長均相等的四面體P1P2P3P4，其中P1，P2，P3，P4分別在直線AB，A1B1，C1D1，CD上，則此長方體的體積為______.

(2014年浙江省數學高考樣卷第17題)

分析本題可以理解為在一個截面為AA1D1D，且2端延伸的長方體通道內找一個內接正四面體P1P2P3P4，故只需保證長方體通道內能夠放入一個棱長為2的內接正方體即可.如圖8，取點P1，P2，P3，P4，可知長方體的高為AA1=AD=2，故長方體的體積為1×2×2=4.

3 三截棍體、鱉臑體——有4個面為直角三角形的四面體

如圖2，我們注意到三棱錐D-ABC的4個面全是直角三角形，且3條棱DC，CB，BA首尾相接，兩兩垂直，恰好為外接立方體中對應長、寬、高的3條棱，故可以將“4個面都是直角三角形的三棱錐”形象地稱為“三截棍體”(如圖9).筆者上課講解時聯系周杰倫的成名曲《雙截棍》，有助于學生的理解與記憶.

2015年湖北省數學高考卷中有一段摘自《九章算術》的文字，“將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑(拼音biē nào)”，這一個與“別鬧”同音的詞一時成為新聞媒體的熱點詞匯，大家都在調侃數學原來可以這么有文化.相信這一趣聞對學生的記憶會很有幫助，將來也可以稱為“鱉臑體”.

圖9

圖10

例5《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將4個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

如圖10，在陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F，聯結DE，DF，BD，BE.

1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑?若是，寫出每個面的直角(只需寫出結論);若不是，說明理由.

(2015年湖北省數學高考理科試題第19題)

分析本題首先證明“DE⊥平面PBC”，目標指向明確，只要找到2組線線垂直即可，同時也為第2)小題提供鋪墊.判斷四面體EBCD是否為鱉臑，即判斷四面體EBCD的4個面是否全是直角三角形.如果從三截棍體的角度出發，只要找到首尾相接的3段兩兩垂直的線段即可.顯然圖10中DE，EC，CB首尾相接且兩兩垂直，故四面體EBCD是鱉臑，其中∠DEC=∠DEB=∠ECB=∠DCB=90°.

例6如圖11，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°.

1)求三棱錐P-ABC的體積;

(2015年安徽省數學高考文科試題第19題)

分析本題中由AB=1，AC=2，∠BAC=60°可得AB⊥BC，又由PA⊥平面ABC，可知三棱錐P-ABC是一個三截棍體，可以放入長方體內，便于建立坐標系設點，同時幾何方法也更容易發現添輔助線的方法.

圖11

圖12

本方法的輔助線添法實際是過點B作AC的垂面BMN與PC的交點即為所要求的點M.

例7已知球O的面上有4個點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，，則球O的體積等于______.

(2008年浙江省數學高考理科試題第14題)

分析由題意可知，三棱錐D-ABC是一個“鱉臑體”.如圖13，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，從而，于是，故球O的體積.

圖13

4 墻角體——有3個面為直角三角形的四面體

如圖3，三棱錐D-ABC的3個面是直角三角形，點B處恰好是一個3條棱兩兩垂直的墻角，故這樣的三棱錐可稱為“墻角三棱錐”.墻角體是立體幾何用向量方法解決問題的根本模型，有了墻角也就有了直角坐標系，因此遇到描述為“3個面為直角三角形”的四面體就可以放入長方體(即直角坐標系)內(如圖3和圖4)研究問題了.

例8已知三棱錐A-BCD的外接球為球O，△ABC與△ACD都是以AC為斜邊的直角三角形，△BCD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，且，向量的夾角為，則球O的表面積為______.

分析因為這個三棱錐有3個直角三角形，所以可以將其放入如圖4所示的長方體內，則由，可知BC=CD=1.又由于，從而△ABD是正三角形，長方體的高為1，即這是一個正方體.故三棱錐的外接球與正方體的外接球相同，從而正方體的體對角線就是球O的直徑，故球O的表面積為3π.

例9有2塊直角三角板:一塊三角板的2條直角邊的長分別為;另一塊三角板的2條直角邊的長分別為.這2塊三角板有2對頂點重合，且成90°的二面角，則不重合的2個頂點間的距離等于______.

分析這里有眾多的直角三角形，故考慮2塊直角三角板拼成的三棱錐可能有2種拼接方式:一種拼成墻角三棱錐，一種拼成“三截棍體”三棱錐.

若是墻角三棱錐，則

從而△PAQ為直角三角形，于是

若是三截棍體三棱錐，則

例10如圖14，某人在垂直水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練，已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小(仰角θ為直線AP與平面ABC所成的角)，若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值為______.

(2014年浙江省數學高考理科試題第17題)

分析本題的常規做法是將仰角正切值表示成為函數求值域.但是若將三棱錐P-ABC放入長方體內，則可以“秒殺”這個問題.

圖14

圖15

如圖15，構造長方體，則AP和面ABC所成最大的角即為面ACD和面ABC所成二面角.易知面ACD和面ABC所成二面角的平面角為∠DFB，故

在日常教學中我們發現，學生懼怕立體幾何問題，其主要原因往往是因為無法將題中所給的抽象條件轉變為直觀圖像.因此為各式各樣的棱錐構建外接長方體的腳手架，可以使得這些棱錐更有“大局觀”，更易于學生親近和熟悉.例如2條異面直線垂直未必人人都能一眼望穿，但如果這2條異面直線恰好能作為正方體的面對角線，那么學生對于垂直這一性質的敏感度就會大大提升.因此作為一線教師，在講授立體幾何內容時，應注意和學生一起發現、探究立體幾何圖形的出處，這樣既有助于學生空間位置感覺的提升，也能加強學生的建模化歸能力，真正收到“解一題，通一類”的效果，幫助學生看穿這紛擾的立體世界.

［1］吳文堯.活躍在立體幾何高考題中的明星四面體［J］.中學教研(數學)，2014(8):32-34.