遠看成嶺側成峰
——2015年浙江省數學高考數列題閱卷體會

●曹 毅 (浙江師范大學附屬中學 浙江金華 321004)

遠看成嶺側成峰
——2015年浙江省數學高考數列題閱卷體會

●曹 毅 (浙江師范大學附屬中學 浙江金華 321004)

在數學高考改革承上啟下的關鍵一年，高考試卷在內容和形式上的每個變化都是新政策的應用與實踐.2011年才回歸高考的數列，在此次高考中以文科第2道大題與理科壓軸題的形式出現，不禁讓人感覺意料之外，情理之中.筆者有幸參加了2015年浙江省數學高考閱卷，下面就文科第17題進行分析，并對照歷年高考數列題，談談反思與體會.

題目已知數列{an}和{bn}滿足a1=2，b1= 1，an+1=2an，(其中n∈N*).

1)求an及bn;

2)記數列{anbn}的前n項和為Tn，求Tn.

(2015年浙江省數學高考文科試題第17題)

1 試題剖析

1.1 命題意圖

本題緊扣高考考試說明，第1)小題為8分，考查等比數列的通項公式與累乘法;第2)小題為7分，考查錯位相減法與計算能力.

1.2 解法賞析

本題的關鍵點:求出數列的通項公式;錯位相減法.

1.3 評分策略

本題的評分體現出高考改卷的2個維度:注重方法，解題思想一定要到位;強調計算，關鍵結論一定要算對.

第1)小題中，數列{an}和{bn}的通項公式各4分，其中過程與結果分別占2分.第2)小題中，對于錯位相減法的評分，只要考生將Tn乘以2或者是，體現出錯位相減法的意識就給2分.就算此前考生在求數列通項出現錯誤，也不會影響本步驟得分.

對于最后的結論，Tn只要滿足如下任一種形式即可:

這些都視為正確答案，充分體現了人文關懷.

2 錯誤解析

2.1 本題得分情況

本題的平均得分為9.59，去除0分試卷后平均得分為10.58.從閱卷情況看，本題的得分普遍在8分以上，且錯誤較為集中.

2.2 考生常見錯誤點

第1)小題:

②化簡錯誤:累乘后，得到錯誤的通項公式，例如bn=2n，bn=n－1等.

對于第1)小題，錯誤主要集中在求{bn}的通項公式上，其中以概念錯誤為主，很多考生看到這個式子后，沒有聯想到“累乘法”，而是亂寫一通甚至空白.

第2)小題:

①使用錯位相減法時發生錯誤:

第1)小題算錯，得到{anbn}根本不是差比數列，結果還是使用了錯位相減法，沒有理解方法的本質;

乘上錯誤的公比，例如4Tn;

最后一項系數錯誤，如:

2Tn=22+2·23+…+(n+1)·2n+1;

最后一項符號錯誤，如:

Tn－2Tn=2+22+23+…+2n+n·2n+1.

②計算錯誤:將

Tn－2Tn=2+22+23+…+2n－n·2n+1

化到最后結果時出現的各種錯誤.

考生答題中出現千奇百怪的錯誤，其實質是因為沒有理解方法的本質，既不知道使用方法的前提，也不知道方法的作用.例如，錯位相減是為了讓中間各項的系數變成等差數列的公差，再用等比數列求和公式求解，而部分考生只是記得老師說過要在Tn前乘上一個數.這種機械式記憶的學習方法是文科考生學習數學時最忌諱的.

2.3 得分技巧

①第1)小題不能做錯，如果數列{an}和{bn}求解發生錯誤，第2)小題就只有錯位相減法這步得2分，那么此題的得分不會超過8分.

②體現解題思想的關鍵步驟一定要寫，例如Tn－2Tn=2+22+23+…+2n－n·2n+1，這步不僅體現了錯位相減法的思想，從中也可以看出數列{an}和{bn}通項求解是否正確，那么這位考生的得分不會低于12分.

3 遠看成嶺側成峰，與近3年文科數列大題進行比較

1)知識層面:筆者研究了近3年的高考數列題.第1)小題主要考概念:出現的高頻考點為求等差、等比數列的通項與求和;第2)小題主要考方法技巧的掌握:錯位相減法、絕對值求和、利用項數的整數性質等教學中常見的方法與性質都是考點.解決這類問題，要求考生理解掌握數列雙基.錯位相減法在2012年和2015年的浙江省數學高考試題中都有出現.

2)能力層面:近3年浙江省數學高考嚴格按照考試說明，強調“能力立意”，即考生使用數列知識與技法的能力，看重通性通法與計算能力.如果考生只是套用在文科科目中以記背為主的學習方法，學習數學時只能是事倍功半，遇到題目稍有變化，就會感覺力不從心.

縱觀近3年浙江省數學高考文科試題，第2道大題始終是數列題，且對于其方法技能的考查都較為單一，并不繁雜，這說明數列在高考文科數學中以考查雙基為主.

4 教學啟示

從閱卷情況看，學生的雙基掌握得并不理想.很多學生在做題時概念模糊，使用解題方法時漏洞百出，計算也錯誤連連.針對本題所反映的問題與考查意圖，建議在教學中應注意以下2個方面:

4.1 夯實基礎，強調雙基

對于文科學生來說，教師應指導其重視基礎題的訓練，規范解題過程，抓牢關鍵得分點，對于計算的準確性更要精益求精.不要一味地訓練難題、怪題、偏題，不要盲目地追求解題技法的華麗性，否則在考試中很容易因為計算不仔細而出錯.

4.2 調整課堂結構，優化復習體系

對于教師而言，制定正確的高三復習策略，數列復習課不要太難、太深，容量不要過大.改變課堂結構，改“教師灌輸為主”為“以學生思考為主”，讓學生發現數學的本質，如復習等差、等比數列求通項時，引導學生提煉出“累加法”與“累乘法”;在復習等比數列求和時，引導學生提煉出“錯位相減法”.增加課堂上學生練習的時間，讓學生多上臺說題板書，訓練學生解題的規范性與計算的準確性.

總之，2015年浙江省數學高考試卷向我們傳遞出:高中數學是玩“概念”的，應該重視概念的理解，重視通性通法，通過玩“概念”培養學生的思維能力與計算能力，只有夯實基礎，才能無往不勝.