數學教學:把根留住
——2015年浙江省數學高考試題解讀

●曹鳳山 (余杭高級中學 浙江杭州 311100)

數學教學:把根留住
——2015年浙江省數學高考試題解讀

●曹鳳山 (余杭高級中學 浙江杭州 311100)

高考塵埃落定.對考生，笑也罷哭也罷，過去也就過去了;對教師，贊也罷批也罷，面對高考試題，反思、改進自己的教學是必須要做好的工作.分析2015年浙江省數學高考試題，處處能感受到試卷傳達出的強烈信息——數學教學:把根留住!

1 強化教學目標的“根”:雙基

高考結束后反映數學高考試題簡單的年份基本沒有，考完罵聲一片已約定俗成.感性地宣泄自不必當真，理性、客觀地分析才是正道.“普通高等學校招生統一考試是合格的高中畢業生和具有同等學力的考生參加的選拔性考試”.既然是“選拔性考試”，考試的結果就不會人人歡喜，出新題、出難題是高考命題一種現實選擇，每個考生得到“自己的高分”是現實，考生的“欲望”都得到滿足是夢想.“合格的高中畢業生”雙基要熟練.雙基是考生繼續深造的“根”，是數學素養的“根”，是取得理想高考成績的“根”，是教學目標的“根”.

表1 2015年浙江省數學高考理科試卷考查內容分布

從表1可以看出，雙基是考查的絕對重點.理科試題覆蓋了集合與常用邏輯用語、三角函數、函數、解析幾何、立體幾何、數列、向量、不等式等板塊的主要內容，知識點分布合理.支撐中學數學的主干知識，如函數、不等式、數列、解析幾何、立體幾何、三角函數等，在試卷中占較大比重.2015年的浙江省數學高考理科試題除第6，7，14，15題、第18題第2)小題、第20題第2)小題等試題具有一定的難度外，其他試題都很注重雙基，大概占到110分.讓不同層次的考生得到相應的分數是高考的必然，無論哪個層次的考生，雙基都是第1位的.從考試成績看，相當一部分考生連低、中檔試題的分數都拿不到，基礎不牢地動山搖.在雙基上舍得下功夫永遠不過時，如何強調雙基的重要性都不為過.文科試卷也有類似的特點，此處不再詳述.

2 突出數學學習的“根”:能力

長遠地看，中學階段學習的知識基本上屬于以后學習、發展的基礎，中學階段的成績只是“短期利益”，“長期利益”是以知識學習為載體的能力培養，能力是第1位的.

以學習能力為例，中學階段學習能力的培養是一個人發展的重要階段，學會學習是根本，因為學習能力決定了以后發展的高度與廣度.那么現在的學生數學學習能力如何呢?通過分析試卷和考生情況可知，一些試題“卡殼”的原因就在于學習能力不足，一些試題干脆“讀不懂”:如理科卷第6，7，14，15，18，20題等.

考生為何讀不懂題意?我們截取其中幾個大眾化的高中數學課堂的鏡頭作些觀察，期望有所感悟.鏡頭①，新授課:集合的運算.大致程序:PPT展示——引例——并集的定義、表示——例題;引例——交集的定義，……大部分的時間是例題與之后的練習.高一的學生對于集合這個“新生事物”還有些陌生，運算只有數、式的體驗，對于沒有預習的學生來說，交、并、補的符號可能還不會寫，寫不好，對所謂“集合的運算”更是一頭霧水.加、減、乘、除等運算符號又不能類比，因此只能模仿例題大量做練習.鏡頭②，復習課:集合及其運算.大致程序:PPT展示——知識梳理——題型(考點)1(教師讀試題、分析、講解、展示解法，然后練習)——題型(考點)2，……

從以上教學鏡頭看，新授課、復習課的差異在于課堂容量，共同的是大量的例題、練習，學生模仿題型.所謂“教”大致就是題型、方法、技巧展示，所謂“學”約等于題型模仿.

符號突出是數學學科的一個突出特點.除文字外，數學中還有大量的字母、圖形，但符號并不是數學，只有理解符號體現的存在才是數學，才使得數學由不可見變得可見.數學也是語言學科，數學語言包括符號語言、圖形語言以及文字語言，數學的學習需要3種語言的理解、3種語言之間的翻譯和轉換.完成知識的理解、知識間的聯系、方法的改進和創新，在3種語言的基礎上才能有理性思維的展開.既然是語言學科自然就要遵循語言學科學習的一般規律，要有閱讀理解、模仿、表達等過程，學生要有體驗的過程.

在一些課堂上，學生所謂的學習過程中基本沒有自行閱讀理解、數學語言刻畫、理解的過程.一是教師要趕進度，3年的課程一年半不到就趕完，然后就是一輪又一輪的題型復習;二是教師不放心，怕效率低，讀給你聽、講給你聽、寫給你看、放給你看，總怕學生會出錯，全程陪護不時指指點點，就是一道例題、幾個字母教師也要自己讀、自己分析、解釋;三是把理想當現實，把人才當成天才，認為學生看一眼就會和教師“看到”、“想出”一樣的內容，希望“同學們課下預習”、“同學們課后研讀”，而事實上，很少有學生課下有時間自己看課本.學習最終是學生自己的事，教師包辦的多學生學習的就少，學習在于體驗，沒有感性的體驗就不能根深蒂固，直接灌輸的結論就是移花接木，沒有生命力.沒有自己學習新知識的體驗，沒有接收新信息、翻譯新信息、應用信息處理問題的體驗，面對陌生的情境就會一籌莫展，就不能提升自己的學習能力.教師可以做教練，指出方法、途徑，讓學生自己下水體驗.教師不能做導航儀，導航儀報的再清楚不如自己走過的路熟悉，在沒有“導航儀”指揮下的考生，考場上“前方500米左拐還是右拐”就找不到方向.

給學生學習的機會、探索的空間、體驗的過程，在失敗、成功的過程中體現教師引導的價值，讓學生學會學習.讓學生回歸其本意:“以學為生”，學生投入到學習過程當中，在教師引導、學生體驗的過程中逐步培養學生的各項能力.

例1設A，B是有限集，定義d(A，B)=card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素個數，

命題①:對任意有限集A，B，A≠B是d(A，B)＞0的充分必要條件;

命題②:對任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)+d(B，C)，

A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立 D.命題①不成立，命題②成立

(2015年浙江省數學高考理科試題第6題)

分析本題以集合、命題以及充要條件等知識為背景，通過定義新符號考查考生在新情境下閱讀理解和分析推理的能力.試題主要以符號語言給出，文字語言輔助.在推理過程中，符號語言、文字語言與圖形語言相互轉譯，試題背景熟悉，素材直接取自課本的閱讀材料，體現高考試題源于課本又高于課本的特點.從文字、符號容易理解:d(A，B)表示集合A，B的非公共元素個數，對命題①，若對任意有限集A，B，A≠B，則這2個集合一定有非公共元素，即d(A，B)＞0;反過來，若d(A，B)＞0，2個集合有非公共元素，則A≠B.用圖形語言，如圖1，命題①的正確性直觀可見.當然，也可以直接利用符號推導，3種語言都可以解決問題，3種語言互相結合更快捷、準確.實際上，從圖形出發，把card(A)理解為封閉圖形的“面積”更好處理.對命題②，可以利用圖形求解，但需要考慮很多情形.雖然可以通過排除法得到答案，但心里還是不夠踏實.若通過符號理解，并結合圖形和集合知識，則符號推演可以確定性、一次性地解決問題.實際上，

圖1

3 彰顯數學的“根”:概念

數學概念是人類對現實世界空間形式和數量關系的概括反映，是建立數學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更是數學思維、交流的工具.李邦河院士說:數學根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也!

例2存在函數f(x)滿足，對任意x∈R都有( )

A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

(2015年浙江省數學高考理科試題第7題)

例3已知e1，e2是空間單位向量，，若空間向量b滿足b·e1=2，，且對于任意x，y∈R，|b－(xe1+ye2)|≥|b－(x0e1+y0e2)|=1(其中x0，y0∈R)，則x0= ______，y0= ______，|b |= ______.

(2015年浙江省數學高考理科試題第15題)

分析例2依托三角函數的周期性、對稱性和二次函數的對稱性，考查函數概念.抽象的概念考查以具體函數為依托，題干簡樸，符號表述內涵豐富.首先是閱讀理解:對任意x∈R，只要找到一個定義在R上滿足條件的函數即可，看定義域給出的選項都是滿足的，是否有這樣的函數呢，從何入手?函數定義!對任意x∈R，都有且僅有唯一的實數值與其對應，注意這里的自變量并不是x而是sin2x，即當sin2x0確定時，對應的sinx0是否存在且唯一.如取x0=0，那么f(0)=sin0=0;若取，則，故選項A不正確;同理可以判斷選項B，C錯誤.

例3首先也是需要閱讀理解，特別是對關系式

幾何意義的理解.如果符號背后的數學情境看不懂，那么后面便無從談起.根據向量運算的幾何意義，在空間中，當向量e1，e2，b共起點時，|b－(xe1+ye2)|表示向量b的終點到e1，e2確定的平面上的點的距離.關系式(1)完整的含義是，向量b的終點到e1，e2確定的平面的最短距離是1.從最基本的空間向量基本定理出發，設 b=x0e1+y0e2+e3(其中 e3⊥ei，i=1，2，x0，y0∈R)，由 b·e1=2，，得到解得x0=1，y0=2，進而有.由此可知，利用基本概念、基本定理是最簡捷的解題途徑.

用概念解題學生往往感覺很驚訝!還可以這樣解?這么簡單!那說好的解題技巧呢?在平時的課堂教學中，概念教學存在的問題不少:比如淡化概念教學，一筆帶過，以為有文字、有符號學生一看就懂、一講就會;概念教學無處著力，如章建躍博士反復提到:一個定義三項注意;概念教學異化，概念教學成了解題教學，以解題代替概念理解，如此等等，沒有抓到概念教學的本質，偏離了數學教學的正軌.概念的理解與典型例子密不可分，一個典型的例子勝過一百次抽象的說教;概念的教學還要注意不斷深化，在綜合、新情境下不斷加深對概念、原理的認識;解題教學注重從概念、原理出發，養成良好的思維習慣.把握概念教學的核心，注重概括，將凝結在數學概念中的數學家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，通過觀察、分析、抽象，概括本質屬性，歸納得出數學概念，讓學生真正學到數學的精髓所在，真正理解數學.

4 把握解題的“根”:思維

理性地說，解題教學不是中學數學教學的全部.但事實上，中學數學教學全部在解題教學.解題教學沒有錯，章建躍博士說:通過解題，學生可以加深概念的理解，深化對概念聯系性的認識，優化數學認知結構，訓練數學思維，提高分析和解決問題的能力——是中學數學教學的主要內容.

例4已知數列{an}滿足且(其中n∈N*).

(2015年浙江省數學高考理科試題第20題)

分析1)由題意得，即an+1≤an，故，由an=(1－an－1)an－1得

2)由題意得a2n=an－an+1，從而

試題可謂情理之中、意料之外，問題樸素、自然，以數列為載體，以函數為背景，考查重要的中學數學知識，解題方法自然、多樣.然而一些考生卻反映無處下手，平時一些“難題”可以做，為什么這么“簡單”的題目卻做不了呢?除了最后一題在心理、時間上有問題外，其他最主要的還是思維能力.

數學是思維的科學.過程是思想的載體，是思維訓練的通道，是領悟概念本質的平臺，是培養數學能力的土壤.沒有過程等于沒有思維，但是，反思我們的教學，恰恰是省略了過程，急著把“結果”、“套路”、“題型”、“妙招”等平時屢試不爽、高考卻一無用處的東西一股腦地灌給學生，把學生當成學生而不是開始就當成考生，給學生學習的機會，保證學生學習的過程，留住數學的根，留住學習的根，讓學生完勝高考，也讓學生的學習受益終生.