基于LMI的工業(yè)控制仿真器的H∞魯棒PID控制器設(shè)計(jì)

王佳偉，楊亞非，錢玉恒，趙新宇

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)飛行器控制實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，黑龍江哈爾濱 150001）

基于LMI的工業(yè)控制仿真器的H∞魯棒PID控制器設(shè)計(jì)

王佳偉，楊亞非，錢玉恒，趙新宇

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)飛行器控制實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，黑龍江哈爾濱 150001）

推導(dǎo)了工業(yè)控制仿真器的數(shù)學(xué)模型，將工業(yè)控制仿真器配置為一個二階的剛體對象。使用極點(diǎn)區(qū)域配置和H∞性能指標(biāo)，并且利用線性矩陣不等式這一強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，為其設(shè)計(jì)了魯棒PID控制器，進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，得到的仿真結(jié)果表明了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

線性矩陣不等式；工業(yè)控制仿真器；PID控制器；魯棒性控制器

控制系統(tǒng)的魯棒性是指系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化或有干擾信號作用時仍可使控制效果保持不變的性能。普通PID控制器是以固定的PID參數(shù)去適應(yīng)被控過程中的不確定性因素，魯棒性較差，很難獲得令人滿意的控制效果。線性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）是一種近年來被廣泛使用的很有效的數(shù)學(xué)工具，特別是Matlab的LMI工具箱提供了數(shù)值求解線性矩陣不等式的工具，使得對線性矩陣不等式的求解更加方便。在控制領(lǐng)域中，由于許多問題都能轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的可解性問題，或者具有線性矩陣不等約束的優(yōu)化問題，因此，LMI工具箱已經(jīng)成為解決控制問題、提高PID控制器魯棒性的一個極其重要數(shù)學(xué)工具［1－2］。

工業(yè)控制仿真器是一個綜合實(shí)驗(yàn)平臺，可以仿真單軸仿真轉(zhuǎn)臺［3－5］、主軸傳動機(jī)械［6］、傳送帶［7－8］、數(shù)控機(jī)床［9－10］、自動裝配生產(chǎn)線［11－12］等工業(yè)生產(chǎn)設(shè)備，可以模擬這些設(shè)備的控制性能，包括加入摩擦、齒輪間隙變化［13－14］和干擾后系統(tǒng)的響應(yīng)性能。本文將工業(yè)控制仿真器簡化為剛體模型，利用LMI方法設(shè)計(jì)H∞魯棒PID控制器。通過這一過程，學(xué)生能夠了解和掌握工業(yè)仿真器的控制原理及先進(jìn)的控制算法。

1 區(qū)域極點(diǎn)配置

控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)主要是由其極點(diǎn)配置決定的，把極點(diǎn)配置在一些特定的區(qū)域內(nèi)，可以獲得較好的控制性能，因此這些區(qū)域能夠決定系統(tǒng)的一些指標(biāo)。如果存在一個對稱的實(shí)矩陣L和一個實(shí)數(shù)矩陣M，使得復(fù)平面的子區(qū)域D＝，那么D就稱為LMI區(qū)域［15］，則定義區(qū)域D的特征函數(shù)為：

下面給出幾種典型的LMI區(qū)域。

（1）直線區(qū)域。

其中，α＞0為某個正實(shí)數(shù)，并且上式等價于Re（z）＜－α，其中Re（z）表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部，說明該區(qū)域是以直線Re（z）＜－α為邊界的左半復(fù)平面。（2）圓盤區(qū)域。

其中，圓盤區(qū)域的圓心位于點(diǎn)（－q，0），圓盤區(qū)域的半徑大小為r。

（3）扇形區(qū)域。

其中，扇形區(qū)域的頂點(diǎn)為坐標(biāo)系的原點(diǎn)（0，0），區(qū)域的扇角為2θ。

本文中將要考慮的復(fù)平面子區(qū)域是由上述直線區(qū)域、圓盤區(qū)域和扇形區(qū)域包圍形成的，將該區(qū)域記為S（α，r，θ）。

2 基于LMI的H∞魯棒PID控制器

2．1 控制器約束

圖1所示為閉環(huán)控制框圖。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中r為參考輸入，e為偏差，u為控制輸入，w為零均值高斯白噪聲信號，y為輸出；G（s）表示完全能觀的被控對象的傳遞函數(shù)：

C（s）為控制器，采用如下PID控制器的形式：

其中P、I、D三個參數(shù)是關(guān)于濾波器參數(shù)ε的函數(shù)。

G（s）的狀態(tài)空間表示形式為：

式中：假定系統(tǒng)的參考輸入為零，則有

由此可得閉環(huán)系統(tǒng)的方程為：

并且假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的初始狀態(tài)x（0）與w（t）不相關(guān)。

至此，魯棒PID控制器的設(shè)計(jì)問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)系統(tǒng)滿足約束1——閉環(huán)系統(tǒng)A－BKC的極點(diǎn)分布在復(fù)平面的區(qū)域S（α，r，θ）中和約束2——從擾動w到被控輸出的傳遞函數(shù)矩陣滿足‖H（s）‖’＜γ時，求取控制器參數(shù)Kp、KI、KD值的問題。

2．2 PID控制器參數(shù)整定

如果矩陣變量為［S1，Q11，Q22］的下列線性矩陣不等式有解［1］：

式中：

則PID控制器參數(shù)為：

3 工業(yè)控制仿真器組成及數(shù)學(xué)模型介紹

3．1 結(jié)構(gòu)和組成

工業(yè)控制仿真器由3個子系統(tǒng)組成：（1）裝置機(jī)械部分（見圖2）；（2）由DSP處理器構(gòu)成的控制系統(tǒng)，用來執(zhí)行控制律，該控制器可以解釋指令，支持?jǐn)?shù)據(jù)采集、軌跡描繪、系統(tǒng)狀態(tài)及安全檢測功能；（3）執(zhí)行軟件，即系統(tǒng)的用戶界面，它支持控制器的選擇和構(gòu)建、輸入軌跡定義、輸出數(shù)據(jù)收集、繪圖等系統(tǒng)操作。

3．2 機(jī)械部分和數(shù)學(xué)模型

工業(yè)控制仿真器的機(jī)械部分如圖2所示。機(jī)械部分包括2個可調(diào)慣量的圓盤：一個是驅(qū)動圓盤，由伺服電機(jī)通過皮帶驅(qū)動；另一個是負(fù)載圓盤，通過皮帶、齒輪組驅(qū)動。負(fù)載圓盤與驅(qū)動圓盤均可通過加載、卸載砝碼或者改變砝碼的位置來調(diào)整慣量。傳動齒輪組的齒輪間隙和減速比可以改變，從而實(shí)現(xiàn)多種模型的配置。

圖2 機(jī)械部分

如果忽略機(jī)械傳動中的柔性、齒隙等一些非線性因素的影響，系統(tǒng)可以近似看作剛體，并且假設(shè)考慮的摩擦是黏性的，只考慮驅(qū)動圓盤，根據(jù)圖3的受力分析，可得到

圖3 受力分析

傳遞函數(shù)為

4 控制器參數(shù)設(shè)計(jì)及仿真驗(yàn)證

取上節(jié)推導(dǎo)的工業(yè)控制仿真器的數(shù)學(xué)模型，同時考慮裝置引入的硬件增益Khw＝5．81，則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

取

反饋控制器的形式取為

根據(jù)上一節(jié)的分析推導(dǎo)，可知：

將A、B、C、D代入式（1）—式（4）中，利用Matlab中的LMI工具箱進(jìn)行求解，可解得矩陣變量為：

解得PID控制器參數(shù)為

分析系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為－0．884 58和－146．354 62，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部全部是負(fù)值，說明該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

在Model－220上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得到的跟蹤階躍信號曲線如圖4所示。由圖可以看出，控制曲線在整個控制過程中表現(xiàn)較為平穩(wěn)，超調(diào)量很小，上升時間短，此系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且還具有非常好的性能指標(biāo)。

圖4 仿真結(jié)果

5 結(jié)束語

通過仿真驗(yàn)證說明，基于LMI的工業(yè)控制仿真器的PID控制器具有很好的魯棒性。通過這個實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程，學(xué)生可以加深對先進(jìn)控制方法的理解，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)工業(yè)控制課程打下基礎(chǔ)。

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Design of H∞r(nóng)obust PID controller for industrial control emulator based on linear matrix inequality（LMI）

Wang Jiawei，Yang Yafei，Qian Yuheng，Zhao Xinyu
（Experiment and Teaching Center for Flight Vehicle Control，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

The mathematical model of industrial control emulator is derived and configured as a rigid body object with two orders．Using the method of regional pole placement and H∞performance with linear matrix inequality（LMI），a robust PID controller is designed．After simulation based on industrial control emulator，the effectiveness of the designed controller is shown．

linear matrix inequality（LMI）；industrial control emulator；PID controller design；robust control－ler

TP271

A

1002－4956（2015）3－0137－04

2014－07－02 修改日期：2014－12－26

黑龍江省教學(xué)研究項(xiàng)目（JG2013010268）

王佳偉（1982—），男，黑龍江哈爾濱，在讀博士研究生，工程師，研究方向?yàn)榭刂葡到y(tǒng)實(shí)驗(yàn)與故障診斷技術(shù)．

E－mail：wangjiawei1982＠163．com